Darstellungsmatrix von phi bezüglich der Basis B ?

Question

Wir betrachten die lineare Abbildung \(\varphi: \space \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) mit \(\varphi \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y\\ x+z\\ z\end{pmatrix}\)

und die Vektoren \(b_1 = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\), \(b_2=\begin{pmatrix}1 \\0 \\ 1\end{pmatrix}\) und \(b_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\).

Berechnen Sie die Darstellungsmatrix \([\varphi]_{B}^{B}\) bezüglich der Basis \(B = \{ b_1, b_2, b_3\}\).

Schaffe die Aufgabe nicht und bräuchte Hilfe!! Habe im Skript nachgeschaut aber verstehe nichts von dem was der Prof geschrieben hat:(

Würde mich sehr über Lösungen mit erklärten Lösungswegen freuen!!!

Comments

Berechne die Bilder von b1 , b2 und b3 und stelle die wieder mit  b1 , b2 und b3.

Die Koordinaten dieser Darstellung sind die Spalten der gesuchten Matrix.

Answer 1

  Die Komponenten bzgl. b1;2;3 mögen f , g und h heißenh ( damit der Buchstabe b vermieden wird )

    ß  (  b1  )  =  (  1  |  0  +  1  |  1  )  =  (  1  |  1  |  1  )        (  1  )

    Jetzt zerlege ( 1 ) nach den drei Komponenten x , y und z .

             g  +  h  =  1         (  2a  )

     f                 =  1         (  2b  )

     f  +  g         =  1         (  2c  )

    Dann lesen wir aus ( 2b ) ab   f = 1   Mit ( 2c )  folgt dann  g  = 0  und hernach aus  ( 2a )  h  =  1   ( Probe ! )

   Eine Studentin beschwerte sich hier mal, alles, was sie in der Vorlesung geboten kriege, entwickle eine so mühselige " Verschachtelungstiefe "  Ich muss ihr da leider recht geben; die Zerlegung nach b1;2;3 erscheint hier verschachtelt  mit der kanonischen Basis .

   Wären Matematiker originelle Menschen, würden sie ( wenigstens ) ab und zu mal was anderes präsentieren als diese  e lenden Verschachtelungen .

     ß  (  b2  )  =  (  0  |  2  |  1  )          (  3  )

          g  +  h  =  0        (  4a  )

    f                =  2        (  4b  )

    f  +  g        =  1        (  4c  )


    Weißt du übrigens, warum dass diese Aufgabe maximal Geist los ist?   Die Koeffizientenmatrix  ( KM ) von ( 4a-c ) ist absolut iNdentisch mit ( 2a-c )  ( warum? )   Ich als   " Redakteur "   muss hier lediglich bei ( 2a-c ) ein Copy machen, die rechte Seite des LGS anpassen und ein paar Nummern ändern .  Da die KM unverändert bleibt, hast du auch die selben Lösungsschritte in der nämlichen Reihenfolge:

    f  =  2  ;  g  =  (  -  1  )  ;  h  =  (  +  1  )        (  5  )

    Ein SF-Film sagte mal aus, die Aliens hätten die Erde militärisch erobert und besetzt. Und jetzt gingen die her und wollten testen, wie weit dass sie uns schon verdummt hatten .  Der  letzte intelligent gebliebene  Erdenbürgeer meinte

   " Warum wollt ihr das nicht einsehen? Dieses Flipperspiel geht doch ganz leicht. Immer wenn das rote Licht aufleuchtet, müsst ihr auf die Taste " Y "  drücken; Gewinnchance 100 % . "

    Ja man lacht darüber .  Aber mal im Ernst: Ich frag mich; WILL dein Prof eigentlich, dass du schnallst,  die KM von ( 4a-c ) ist Haar genau die selbe wie von ( 2a-c ) Und das wiederholt sich, so lange du Vektoren zerlegst nach ein und der selben Basis .  Also noch ein drittes Mal .

      ß  (  b3  )  =  (  0  |  1  |  0  )         (  6  )

        g  +  h  =  0        (  7a  )

    f                =  1        (  7b  )

    f  +  g        =  0        (  7c  )
    

    f  =  (  +  1  )  ;  g  =  (  -  1  )  ;  h  =  (  +  1  )      (  8  )

    Mühsam ernährt sich das Eichhörnchen; oder  wie der Runaway sagt

   "  µseed henears sick the oakhorn. "

Comments

  Da hastz du's wieder mal.  Andere sagen, was man machen KÖNNTE;  MÜSSTE;  SOLLTE .   Statt es einfach zu tun so wie ich .

   Und maulen dich obendrein noch an .

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:)

Ja leider fehlt vielen Menschen das Verständnis... ich mein dafür soll die Seite ja da sein oder? Um Fragen zu stellen und zu helfen...

Answer 2

hallo

Prinzip: die Spalten der darstellenden Matrix sind die Bilder der Basisvektoren

1. Schritt berechne die Bilder der 3 Basisvektoren.

2. schreibe die Bilder als Linearkombination der Basisvektoren. dann sind die Koeffizienten die 3 Tupel die das Bild von B in B geben.

 Beispiel φ(b1)=(1,1,1)=b1+b3 also φ(b1)=(1,0,1) in der Basis B das Bild ist die erste Spalte deiner Matrix, entsprechend die Bilder von b2 und b3

"Habe im Skript nachgeschaut aber verstehe nichts von dem was der Prof geschrieben hat" dazu gehört eine Vorlesung, in der man fragen kann, wenn man was nicht versteht!