Doppelintegral (kartesisch) Bestimmung der Integrationsgrenzen

Question

N'Abend,

zur folgenden Aufgabe habe ich eine Frage:

Berechnen Sie das Volumen unter der Funktion z= f(x,y) = x+y über dem Bereich, der durch die Parabeln

y= x² + 1 und y= 2x² begrenzt wird und zeigen Sie, dass es sich um einen Normalbereich handelt. Das Ganze kartesisch lösen.

Meine Integrationsgrenzen für y hätte ich dann ja bereits durch die Aufgabenstellung gegeben, wie ermittle ich die Integrationsgrenzen für mein x ?

Lg :)

Comments

Hier steht alles auf einer Seite in grossen Buchstaben:

https://www.math.tugraz.at/~wagner/Normalbereiche.pdf

Du kannst es als Poster ausdrucken und an die Wand nageln.

Answer 1

Meine Integrationsgrenzen für y hätte ich dann ja bereits durch die Aufgabenstellung gegeben, wie ermittle ich die Integrationsgrenzen für mein x ?

Das geht so nicht, sondern:

Das x von -1 bis 1 und das y von 2x^2 bis x^2 +1.

Also so:

$$\int_{-1}^{1}\int_{2x^2}^{x^2+1}(x+y)dydx$$

$$=\int_{-1}^{1}[xy+0,5y^2]dx$$ mit y von 2x^2 bis x^2+1 dx

$$=\int_{-1}^{1}(-1,5x^4-x^3+x^2+x+0,5)dx=16/15$$

Comments

Für das x -1 bis 1: Vorangehensweise wäre dann einfach die Parabeln einzuzeichen und dann die "Breite" der eingeschlossenen Fläche (Ist das dann auch der Normalbereich?) abzulesen?

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Für das x -1 bis 1: Vorangehensweise wäre dann einfach die Parabeln einzuzeichen und dann die "Breite" der eingeschlossenen Fläche abzulesen?

bzw. durch Gleichsetzen der beiden Randfunktionen die

Grenzen berechnen, wenn sie nicht so leicht abzulesen sind.

Ist das dann auch der Normalbereich?   Dazu müsste man eure

Definition für Normalbereich kennen. Wenn es so ist wie bei

https://www.math.tugraz.at/~wagner/Normalbereiche.pdf

dann ist das ja offenbar ein "Normalbereich bzgl.

der y-Achse" g(x)=2x^2 und h(x)=x^2 + 1.

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Super Erklärung vielen Dank