Taylorreihe, Konvergenzradius, Konvergenz bestimmen

Question

Sei s ∈ ℝ fest, und f : (0,∞) → ℝ die Funktion f(x) := x^s 
Sei a ∈ (0,∞).
a) Bestimmen Sie die Taylorreihe T_f,a von f um den Entwicklungspunkt a.

Sei nun s := -1/2 und a := 1.
b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius r von T_f,a
c) Zeigen Sie, dass T_f,a auf [1, 1 + r) punktweise gegen f konvergiert.

Comments

Hallo

 was davon kannst du den nicht? hast du die Taylorreihe? kennst du die 2 Formeln für Konvergenzradius?

denn dass wir dir das einfach vorrechnen erwartest du hoffentlich nicht?

Gruß lul

---

Ich hänge bei Aufgabe a) die anderen beiden sollten klappen.

ich habe versucht x^s   ein paarmal abzuleiten, und dann eine Regelmäßigkeit zu sehen, diese dann per Induktion zu beweisen. Nur leider habe ich keine Regelmäßigkeit entdeckt, die sich mit einfachen Zahlen beim einsetzen für s als richtig herausgestellt hat. Ist mein ganzes Vorgehen hier falsch, oder hänge ich nur irgendwo?

---

f(x)=x^s

f'(x)=s*x^{s-1}

f''(x)=s*(s-1)x^{s-2}

f'''(x)=s*(s-1)*(s-2)x^{s-3}

Erkennst du hier keine Gesetzmäßigkeit?

Answer 1

das mit der k-ten Ableitung finden ist Übungssache. Hier bietet es sich ganz gut an, auch erstmal klein und einfach zu denken. Betrachten wir mal folgendes Beispiel.

$$ f(x)=x^{55} $$

Das leite ich jetzt ein Paar mal ab:

$$ f^{(0)}(x)=x^{55}\\f^{(1)}(x)=55\cdot x^{54}\\f^{(2)}(x)=55\cdot 54\cdot x^{53}\\f^{(3)}(x)=55\cdot 54\cdot 53\cdot x^{52}\\f^{(4)}(x)=55\cdot 54\cdot 53\cdot 52\cdot x^{51}\\\quad \vdots \\ f^{(55)}=55\cdot 54\cdot 53\cdot 52\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot x^0 $$ Jetzt packe ich zahlenmäßig noch was zu jeder Ableitung hinzu, aber so, dass sich an der Ableitungen nichts ändert.

$$ f^{(0)}=\frac{55\cdot 54\cdot 53\cdot 52\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{55\cdot 54\cdot 53\cdot 52\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot x^{55-0}\\ f^{(1)}=\frac{55\cdot 54\cdot 53\cdot 52\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{54\cdot 53\cdot 52\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot x^{55-1}\\ f^{(2)}=\frac{55\cdot 54\cdot 53\cdot 52\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{53\cdot 52\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot x^{55-2}\\ f^{(3)}=\frac{55\cdot 54\cdot 53\cdot 52\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{52\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot x^{55-3} $$

Hier lässt sich ziemlich schnell eine allgemeine Struktur einsehen. Kannst du sie erkennen? Das ganze lässt sich dann allgemein zu deiner Aufgabe zurückführen.