Du kommst sogar mit dem klassischen e-Ansatz durch .
x ( t ) = A exp ( k t ) ( 1 )
Zunächst der ===> Kern, die ( allgemeine ) homogene Basislösung .
( dx/dt ) + 2 x ( t ) = 0 ( 2a )
A ( k + 2 ) exp ( k t ) = 0 ( 2b )
Jetzt Koeffizientenvergleich ( KV ) Die Lösung A = 0 wäre ja trivial. Nur die Klammer kann Null werden, die e-Funktion nicht ===> k = ( - 2 )
x_hom ( t ) = A exp ( - 2 t ) ( 2c )
dies muss bereits die allgemeinste Basisfunktion sein, da eine DGL erster Ordnung nur einen Freiheitsgrad hat.
( dx/dt ) + 2 x ( t ) = exp ( - 3 t ) ( 3a )
Abermals bewährt sich Ansatz ( 1 )
A ( k + 2 ) exp ( k t ) = exp ( - 3 t ) ( 3b )
Hier nun zeitigt der KV etwas andere Ergebnisse . Zunächst k = ( - 3 ) Setzen wir dieses Resultat in die Klammer ein, so folgt A = ( - 1 ) Inhomogene Sonderlösung
x_Son ( t ) = - exp ( - 3 t ) ( 3c )
Bei der Anfangswertaufgabe sagt er t > = 0 . Hattet ihr schon Fouriertransformation?
Weil stell dir vor, es gäbe ein Filter, das nichts weiter tut, als die gelbe Natrium-D-Linie zu absorbieren. Und auf der Sonne bricht jetzt eine Protuberanz aus, die dauert genau eine µ sec . Je peaker der Blitz oder Puls, desto breiter sein Frequenzspektrum ===> Abtastteorem. Alle Radiobastler wissen das; willst du Nachrichten mit hohem Informationsgrad übertragen, brauchst du immer einen Resonanzkreis mit einer breiten, undefinierten Resonanz und hoher Dämpfung .
Und wenn nun das Gelbfilter jene eine Linie heraus trennt, dann ergibt die Superposition der restlichen Wellen ein Signal, das die Erde bereits erreicht hätte 100 Mio Jahre VOR dem Ausbruch der Protuberanz . Anhänger der Enterprise dürften den folgenden Satz verstehen:
" die Zeitmaschine muss so konstruiert sein, dass alle Interferenzen in die Vergangenheit hinein destruktiv sind. "
===> Kramers_Kronig_Teorem; in der Nähe einer scharfen Resonanz hast du auch immer starke ===> Dispersion; d.h. Brechzahl ( und damit die Lichtgeschw. ) sind wellenlängenabhängig .
Du siehst; die Physik ist ernstlich bemüht, Akausalitäten zu vermeiden. Schon Ludwig Boltzmann fragte im Jahre 1903
" Warum beweist ein Dinoknochen, dass dort VOR 500 Mio Jahren ein Dino rumlief und nicht IN 500 Mio Jahren?
Warum gibt es keine Dokumente über die Zukunft?
Nicht einmal den leisesten Hinweis, was innerhalb der nächsten Sekunde geschehen wird? "
Nun; ich beanspruche, dieses Jahrhunderträtsel gelöst zu haben; wenn Interesse besteht ...
Aber zurück zu deiner Anfangsbedingung. Wir müssen einsetzen in ( 2c;3c )
A - 1 = 1 ===> A = 2 ( 4 )