Ungleichung für Konvergenzbeweis auflösen

Question

ich will folgende Ungleichung nach n umstellen, und obwohl ich Gleichungen im Grunde ziemlich gut lösen kann, gelingt mir das bei dieser einfach nicht:

$$ |\frac{n^2}{2n^2+5}-\frac{1}{2}| < ε $$

Es darf ja nur noch ein n vorkommen soweit ich weiß. Irgendwie stoße ich nur bei manchen (Un)Gleichungen auf Probleme, weil mir manche Grundlagenregeln einfach fehlen, zu welchen ich auch nirgendwo eine wirkliche Erklärung finde (darf ich aus Summen und Differenzen z.B. multiplizieren oder dividieren? Darf ich bei Brüchen ja auch nicht, also eigentlich nicht, oder?) Ich meine in der Mathematik gibt es ausschließlich fest definierte Vorgehensweisen, aber bei der Anwendung von Algebra oder Äquivalenzumformungen habe ich immer wieder Augenblicke wo ich denke "Ich kann doch jetzt das ODER das machen?!". Soll ich jetzt hier z.B. erst die 1/2 auf die rechte Seite holen, dann das Epsilon wegteilen, oder links erst gleichnamig machen und dann den Nenner rübermultiplizieren? In beiden Fällen hab ich "zu viele n" auf der einen Seite, bzw. "mehrere Epsilon" durch ausmultiplizieren, da ich ja klammern muss. Ausklammern hilft mir auch nicht groß weiter, da ich trotzdem noch n oder Epsilon "übrig habe". Bin hier - peinlicherweise - überfragt.

Answer 1

Hallo

1. Regel: alles auf den Hauptnenner bringen,  dann den  Bruch vergrößern, indem man den Nenner verkleinert, danach N(ε) bestimmen, wenn man ein N für den vergrößerten Bruch findet, gilt es natürlich auch für den kleineren

da du Betragstriche hast, kannst du das 1/2 nicht so einfach auf die andere Seite bringen.

also immer die linke Seite geschickt abschätzen, und dann erst <ε setzen.

alle Rechenoperationen sind innerhalb der Betragstriche natürlich erlaubt, da steh ja ein Ausdruck, den man umformen kann nach den üblichen Regeln. Ungleichungen kann man mit positiven Zahlen auf beiden Seiten mult. oder dividieren aus a<b folgt 2a<2b und a/2<b/2

Gruß lul

Answer 2

Bringe mal erst die Brüche auf einen Nenner und subtrahiere, das gibt

| -5 / ( 2* (2n^2 + 5) |    < ε    wegen des Betrages:

<=>   5 / ( 2* (2n^2 + 5)    < ε

<=>   5    <   ( 2* (2n^2 + 5)   *  ε

<=>  2,5/ε     <   2n^2 + 5

<=>  2,5/ε   - 5     <   2n^2

<=> ( 2,5/ε   - 5 ) / 2    <   n^2

Wenn nun die linke Seite negativ ist ( etwa für ε=1 )

ist die Ungleichung für alle natürlichen Zahlen erfüllt, ansonsten für alle

die größer sind als  √ ( ( 2,5/ε   - 5 ) / 2 )) .

Answer 3

du kannst den Ausdruck in den Betragsstrichen auch immer nachoben abschätzen. Das hat nämlich auch später den Vorteil, dass du dann immer ganz leicht ein Nε finden wirst, bei dem du dir immer sicher sein kannst, dass ab da, deine maximale Abweichung/Fehler ε unterschritten sein wird.

$$ \Bigg|\frac{n^2}{2n^2+5}-\frac{1}{2} \Bigg|=\Bigg|\frac{2n^2-2n^2-5}{2(2n^2+5)} \Bigg|=\Bigg|\frac{-5}{4n^2+20} \Bigg|\\\leq \Bigg|\frac{5}{4n^2+20} \Bigg|<\Bigg|\frac{5}{4n^2} \Bigg|<\Bigg|\frac{5}{4n} \Bigg|<\Bigg|\frac{5}{n} \Bigg|=\frac{5}{n}\leq \frac{5}{N_\epsilon}<\epsilon \ .$$