Ist f(x) auf (-1,1)/im punkt (0) stetig und differenzierbar ?

Question

 Wie kann man bestimmen , ob die Funktion auf (-1,1)/ im Punkt 0  stetig und differenzierbar ist .

\(f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { | x ^ { 2 } + x | } & { \text { für } x \leq 0 } \\ { x ^ { 2 } ( x - 1 ) } & { \text { für } x > 0 } \end{array} \right.\)

Answer 1

Die Funktion ist stetig bei 0, wenn der Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswertz ist.

Der Grenzwert existiert, wenn linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert ist.

Die Funktion ist differenzierbar bei 0, wenn dort wenn linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten = rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten ist.

Answer 2

Intervall ] -1 ; 1 [
Stetigkeit
| x^2 + x | für x = 0 => 0
x^3 - x^2 für x = 0 => 0
ist stetig

Differenzierbarkeit

| x^2 + x |
x^2 + x = 0
x * ( x + 1 ) = 0
x = 0
und
x = -1 nicht im Intervall
für x ≤ 0 gilt
| x^2 + x | = ( x^2 + x ) *(-1)
-x^2 - x
1.Ableitung
f ´( x ) = -2x - 1
Für x = 0  => -1

Rechtsseitig
x^3 - x^2
1.Ableitung
3*x^2 - 2x
für lim x −> 0 gilt
3*0^2 - 2*0 = 0

linksseitige Steigung -1
rechtsseitige Steigung 0
Die Fuktion ist nicht dff-bar

Answer 3

Wie kann man bestimmen , ob die Funktion auf (-1,1) im Punkt 0  stetig und differenzierbar ist ?

\(f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { | x ^ { 2 } + x | } & { \text { für } x \leq 0 } \\ { x ^ { 2 } ( x - 1 ) } & { \text { für } x > 0 } \end{array} \right.= \left\{ \begin{array} { l l } { -x ^ { 2 } - x  } & { \text { für } x \leq 0 } \\ { x ^ { 3} -x^2 } & { \text { für } x > 0 } \end{array} \right.\)$$\lim_{x \to 0^{-}} f(x)=\lim_{x \to 0^{+}} f(x)=f(0)=0  \color{blue}{→ \text{ f ist stetig in x=0}}$$

Differenzierbarkeit:

für x≠0:

\(f' ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { -2x-1 } & { \text { für } x < 0 } \\ { 3x ^ { 2 } - 2x  } & { \text { für } x > 0 } \end{array} \right.\)

für x=0:$$\lim_{x \to 0^{-}}(-2x-1)=-1$$$$\lim_{x \to 0^{+}}(3x^2-2x)=0$$Die einseitigen Grenzwerte sind verschieden  →  f ist nicht differenzierbar in x=0 

Gruß Wolfgang