Orthogonale Projektion R^3

Question

v₁ = (−2, 2, 1)^T, v₂ = (−2, 0, 1)^T

Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von (0, 1, 1)^T auf Span{v₁, v₂}.

Also in der Lösung, die ich habe steht folgendes:

P(0,1,1)^T = <v₁ w₁ > w_1 + <v_1, w_2> w_2

v = 1/5 (-2,1,1)^T

ich habe seit ner halben Stunde vergeblich versucht herauszufinden, wie das geht... habe soweit das:

mfg

Answer 1

Also in der Lösung, die ich habe steht folgendes: P(0,1,1)T = <v1 w1 > w_1 + <v_1, w_2> w_2

sicher? ich vermute, da steht so etwas wie

$$P' = \left<P w_1\right> w_1 + \left<P w_2\right> w_2$$ \(w_1\) und \(w_2\) hast Du richtig berechnet. Dann solltest Du aber für die Berechnung der Projektion \(P'\) meinen Vorschlag verwenden. Es ist: $$\begin{aligned} P' &= \left< \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2\\2\\1 \end{pmatrix} \frac13\right> \begin{pmatrix} -2\\2\\1 \end{pmatrix} \frac13  \\ &\quad+ \left< \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4\\-5\\2 \end{pmatrix} \frac{1}{3\sqrt{5}}\right>\begin{pmatrix} -4\\-5\\2 \end{pmatrix} \frac{1}{3\sqrt{5}} \\ &= 1 \cdot \begin{pmatrix} -2\\2\\1 \end{pmatrix} \frac13 + \frac{-1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix} -4\\-5\\2 \end{pmatrix} \frac{1}{3\sqrt{5}} \\ &= \frac15 \begin{pmatrix} -2\\5\\1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Die Szene im Geoknecht3D zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist:

(klick auf das Bild)

Gruß Werner

Comments

ok ich habs eigentlich verstanden, hatte mich schon gewundert wieso ich den gegeben Vektor der zu Projizieren war nicht drinne hatte. Hatte wohl die falsche Formel:

Aber ich verstehe deine Lösung rechnerisch nicht...

woher kommt der Vektor

$$\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3\sqrt{5}}$$

Das soll glaub ich w_2 sein. und hast einfach die Brüche mit 2 jeweils gekürzt.

Aber bei mir sind die Vorzeichen ganz anders.

Und du meinst meine Musterlösung vom Tutor ist falsch?

also du hast bei x_2 ja 5 statt 1 ...

mfg

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also ich habe wie es aussieht nen VZ-Fehler... ich kontrolliere meine Rechnung kurz nochmal...

ich habe wahrscheinlich die lösung falsch abgeschrieben und eine 1 statt 5 hingemacht xD

mfg

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woher kommt der Vektor
\(\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3\sqrt{5}}\)
Das soll glaub ich \(w_2\) sein. und hast einfach die Brüche mit 2 jeweils gekürzt.

Ja - das ist \(w_2\) und gekürzt. \(\sqrt{180} = 2 \cdot 3 \sqrt{5}\)

Aber bei mir sind die Vorzeichen ganz anders.

Stimmt - Du hast bei der Berechnung die Vorzeichen falsch gesetzt. Das war mir gar nicht aufgefallen; ich hatte \(w_2\) unabhängig von Deiner Rechnung bestimmt.

Die Rechnung ist (s.o.) $$\begin{aligned} \space &= \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -10/9\\10/9\\5/9 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} \colorbox{#ffff88}{-}8/9\\-10/9\\ \colorbox{#ffff88}{+}4/9 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

an den markieren Stelle hast Du die Vorzeichen falsch gesetzt.

Gruß Werner