Bestimmen Sie den Anstieg der Sekanten im jeweiligen Intervall und bestimmen Sie den Grenzwert

Question

Halli  
ich stoße langsam an meine Grenzen bei der Hitze und weiß leider nicht, wie ich die Aufgabe lösen muss, deshalb bitte ich euch um Hilfe. Es wäre unglaublich lieb von euch, wenn ihr es mir ausführlich wie möglich erklären würdet, darauf lege ich einen großen Wert. :-)
Die Funktion lautet f(x) = 0,2x² Das Intervall, in dem die Sekante ermittelt werden soll ist [1;5]
Nun wird der Differenzenquotient und der Anstieg gesucht.
Wenn ich nicht weiß, wie die Funktion im Graph aussieht, muss ich mir eine Tabelle anfertigen und versuchen ein paar Werte von 1 bis 5 auszurechnen? (die Aufgabe soll ohne TR gelöst werden) 
Die Sekante lässt sich ja durch den Differenzenquotienten ermitteln: $$ s(x) = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} \cdot (x-x_0)+f(x_0) $$

Dafür brauche ich doch zwei Punkte, um die Sekante ausrechnen zu können, doch welche muss ich mir da vornehmen bzw. welche darf ich?

Des Weiteren muss der Grenzwert bestimmt werden. Ich glaube x muss gegen 1 laufen.

$$ \lim\limits_{x\to1} = ... $$

Setzt man in diesem Fall in die Ausgangsgleichung die 1 oder gibt es dafür eine bestimmte Formel, wie man das Ganze ausrechnet? Und warum muss x gegen 1 laufen? Wie kann ich mir das rechnerisch und bildlich vorstellen?

Tut mir leid, dass die Aufgabe so umfangreich geworden ist, allerdings bin ich mir ganz sicher, dass es hier fleißige Bienchen gibt. :-)

Ich würde mich um eine schnelle Rückmeldung freuen, lasst euch aber ruhig Zeit. Vielen lieben Dank im Voraus!

LG

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Wähle \(x_0=1\) und \(x_1=5\) und stelle damit den Differenzenquotienten auf. Falls auch die Sekante selbst gesucht ist, kann du auch gleich die ganze Sekantengleichung in der Punkt-Steigungs-Form, so wie von dir angegeben, aufstellen. Der Anstieg, also die Steigung, der Sekante ist dann der ausgerechnete Wert des Differenzenquotienten.

Answer 1

Die Funktion lautet f(x) = 0,2x²

Sekantensteigung m_s in [1,5]:

$$m_s([1,5])= \frac{0,2·5^2-0,2·1^2}{5-1}=1,2$$Sekantensteigung in [1,x]:$$m_s([1,x]) = \frac{0,2·x^2-0,2·1^2}{x-1}$$Steigung der Tangente in x=1: $$\lim_{x\to1}m_s([1,x])=\lim_{x\to1}0,2·\frac { x^2-1 }{ x-1 } =\lim_{x \to 1}  0,2·(x+1)  =0,4$$Für die Gleichung der Sekante in [1,5] musst du in dein s(x) vorn für den Bruch die Steigung 1,2 und dann nur (x₀ | f(x₀) ) = (1|0,2) einsetzen:

Sekante: y = 1,2·x - 1 

Gruß Wolfgang

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Dankeschön Wolfgang! :-) Kurz, dennoch verständlich dargestellt. Jetzt weiß ich wie ich die nächsten Aufgaben lösen muss. 

Answer 2

f ( x ) = 0.2 * x^2

Intervall 1 bis 5
Ich denke es ist die Sekante zwischen x =1 und
x = 5 gemeint

Steigung
( 1 | f ( 1 ) )
( 5 | f ( 5 ) )
m = Δ y / Δ x = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
( 1 | 0.2 )
( 5 | 5 )
m =  ( 5 - 0.2 ) / ( 5 - 1 ) = 1.2
Einsetzen
y = m * x + b
0.2 = 1.2 * 1 + b
b = -1

y = 1.2 * x - 1

Answer 3

Hallo

es wäre besser, du würdest die Orginalaufgabe wörtlich posten. Im Intervall [1,5] gibt es viele Sekanten z.B. die vom Punkt  (1,0.2) zum Punkt (2,0.8) oder die von  (1,0.2) zu (5,5) und endlos viele mehr.

Wenn du jetzt die momentane Steigung  bei x=1 ausrechnen willst ist das der GW  aller Sekantensteigungen von 1 aus  für x_0 gegen 1

 entsprechend die Steigung an anderen Stellen des Intervalls. die Sekantengleichung hast du richtig hingeschrieben, wobei du wenn in der Aufgabe nichts anderes steht für x_1 und x_0 beliebige Werte x aus [1,5] einsetzen kannst,

du kannst aber auch deine Funktion einsetzen und die Steigung ausrechnen_

(0,2*x1^2-0,2x0^2/(x1-x0)=0,2*(x1-x0)*(x1+x0)/(x1-x0)=0,2*(x1+x0) und damit ist auch der GW x0->x1 klar.

Gruß lul