Aloha :)
Da die Fragestellung mittlerweile erweitert wurde, muss ich meine Antwort noch ergänzen:
~plot~ (x-2)^2-4 ; [[-1|6|-4,5|9]] ~plot~
Die Steigung \(m\) zwischen 2 Punkten \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\) ist die Differenz der \(y\)-Werte dividiert durch die Differenz der \(x\)-Werte, das heißt:$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$Diese Steigung sollst du nun 4-mal berechnen, nämlich zwischen den Punkten:$$P_1(0|0)\;;\;P_2(1|-3)\;;\;P_3(2|-4)\;;\;P_4(4|0)\;;\;P_5(5|5)$$Beachte, dass ich bereits die Funktionswerte \(f(x)\) für die jeweiligen \(x\)-Werte berechnet habe.$$m_{12}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{(-3)-(0)}{1-0}=\frac{-3}{1}=-3$$$$m_{23}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=\frac{(-4)-(-3)}{2-1}=\frac{-1}{1}=-1$$$$m_{34}=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}=\frac{(0)-(-4)}{4-2}=\frac{4}{2}=2$$$$m_{45}=\frac{y_5-y_4}{x_5-x_4}=\frac{(5)-(0)}{5-4}=\frac{5}{1}=5$$
Die Steigungen der Tangenten an den betreffenden Punkten erhältst du, indem du die \(x\)-Werte der Punkte in die erste Ableitung der Funktion einsetzt:
$$f'(x)=\left(\,(x-2)^2-4\,\right)'=2(x-2)=2x-4$$$$f'(0)=-4$$$$f'(1)=-2$$$$f'(2)=0$$$$f'(4)=4$$$$f'(5)=6$$Wenn du nun die Mittelwerte der Ableitungen nimmst, erhältst du die Sekantensteigungen:$$\frac{f'(0)+f'(1)}{2}=\frac{-4-2}{2}=-3=m_{12}$$$$\frac{f'(1)+f'(2)}{2}=\frac{-2+0}{2}=-1=m_{23}$$$$\frac{f'(2)+f'(4)}{2}=\frac{0+4}{2}=2=m_{34}$$$$\frac{f'(4)+f'(5)}{2}=\frac{4+6}{2}=5=m_{45}$$
