Steigung der Sekanten durch jeweils zwei Punkte bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

f : x ↦ (x-2)² - 4.

1.Zeichnen Sie den Graphen von f.

2. Bestimmen Sie die Steigung der Sekanten durch je zwei benachbarten Punkte:

P1(0/f(0)), P2(1/f(1)), P3(2/f(2)), P4(4/f(4)), P5(5/f(5)).

3.Vergleichen Sie die Sekantensteigungen mit der Steigung der Tangenten in den gegebenen Punkten.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht was man da machen soll..?! unser Lehrer hat es nicht für nötig gehalten, uns das zu erklären.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Sekante steigung bestimmen

Stichworte: sekante

Aufgabe:

Gegeben ist die funktion

f:x  Pfeil nach rechts (x-2)² - 4.

1.Zeichnen Sie den Graphen von f.

2. Bestimmen Sie die steigung der sekanten durch je zwei  benachbarten Punkte:

P1(0/f(0)), P2(1/f(1)), P3(2/f(2)), P4(4/f(4)), P5(5/f(5)).

3.Vergleichen Sie die sekantensteigungen mit der steigung der tangenten in den gegebenen Punkten.

Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht was man da machen soll..?! unser Lehrer hat es nicht für nötig gehalten uns das zu erklären..

Answer 1

Aloha :)

Da die Fragestellung mittlerweile erweitert wurde, muss ich meine Antwort noch ergänzen:

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x-2)²-4Zoom: x(-1…6) y(-4,5…9)

Die Steigung $m$ zwischen 2 Punkten $(x_1|y_1)$ und $(x_2|y_2)$ ist die Differenz der $y$-Werte dividiert durch die Differenz der $x$-Werte, das heißt:$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$Diese Steigung sollst du nun 4-mal berechnen, nämlich zwischen den Punkten:$$P_1(0|0)\;;\;P_2(1|-3)\;;\;P_3(2|-4)\;;\;P_4(4|0)\;;\;P_5(5|5)$$Beachte, dass ich bereits die Funktionswerte $f(x)$ für die jeweiligen $x$-Werte berechnet habe.$$m_{12}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{(-3)-(0)}{1-0}=\frac{-3}{1}=-3$$$$m_{23}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=\frac{(-4)-(-3)}{2-1}=\frac{-1}{1}=-1$$$$m_{34}=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}=\frac{(0)-(-4)}{4-2}=\frac{4}{2}=2$$$$m_{45}=\frac{y_5-y_4}{x_5-x_4}=\frac{(5)-(0)}{5-4}=\frac{5}{1}=5$$

Die Steigungen der Tangenten an den betreffenden Punkten erhältst du, indem du die $x$-Werte der Punkte in die erste Ableitung der Funktion einsetzt:

$$f'(x)=\left(\,(x-2)^2-4\,\right)'=2(x-2)=2x-4$$$$f'(0)=-4$$$$f'(1)=-2$$$$f'(2)=0$$$$f'(4)=4$$$$f'(5)=6$$Wenn du nun die Mittelwerte der Ableitungen nimmst, erhältst du die Sekantensteigungen:$$\frac{f'(0)+f'(1)}{2}=\frac{-4-2}{2}=-3=m_{12}$$$$\frac{f'(1)+f'(2)}{2}=\frac{-2+0}{2}=-1=m_{23}$$$$\frac{f'(2)+f'(4)}{2}=\frac{0+4}{2}=2=m_{34}$$$$\frac{f'(4)+f'(5)}{2}=\frac{4+6}{2}=5=m_{45}$$

Comments

Oha,danke aber wie rechnet man die funktionswerte für die jeweiligen x- Werte?

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Es gilt $y=f(x)=(x-2)^2-4$. Wenn du den $y$-Wert zu einem bestimmten $x$-Wert suchst, kannst du $x$ in die Gleichung einsetzen.

Dasselbe machst du, um die Ableitung an der Stelle $x$ zu berechnen, nur dass du dann in die Ableitung $f'(x)$ den entsprechenden Wert einsetzt.

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Sry nochmal,wie kommt ihr auf die Werte neben m z.B. m12 ...und wie zeichnet man die tangenten und sekanten ein?

Answer 2

f:x  → (x-2)² - 4 bedeutet f(x) = (x-2)² - 4.

f(1)=(1-2)² - 4= - 3 also P₁(1|-3)

auf diese Weise alle Punkte ausrechnen und den Differenzenquorienten für zwei benachbarte Punkte ausrechnen, z.B. für P₀(0|0) und P₁(1|-3):

$\frac{-3-0}{1-0}$=-3.

Die Steigung von P₀ nach P₁ ist -3.

Comments

Ok,danke aber ich verstehe das noch nicht ganz

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Was genau soll ich noch einmal erklären?

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Mit dem ..auf diese Weise alle Punkte ausrechnen

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So vielleicht?
P₁(0/f(0)) f(0)=(0-2)²-4=4-4=0, P₁=(0|0)

P₂(1/f(1)), bereits vorgeführt,

P₃(2/f(2)), (2-2)²-4=0-4=-4, P₃=(2|-4)

P₄(4/f(4)), (4-2)²-4=4-4=0, P₄=(4|0)

P₅(5/f(5)), (5-2)²-4=9-4=5, P₅=(5|5)

Answer 3

f (x) = (x-2)² - 4.

2. Bestimmen Sie die Steigung der Sekanten durch je zwei benachbarten Punkte:

P1(0/f(0)), P2(1/f(1))

f(0) = ( 0 -2 )² - 4 = 0
P1 ( 0 | 0 )

P2(1/f(1))
f ( 1 ) = ( 1-2)² - 4 = -3
P2 ( 1 | -3 )

Sekantensteigung
m = Δ y / Δ x = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 0 - ( -3) ) / ( 0 -1 ) = -3

Steigung über die erste Ableitung
f ´ ( x ) = 2 * (x-2) * 1
f ´( x ) = 2x - 4

f ´( 0 ) = 2*0 - 4 = -4
f ´( 1 ) = 2*1 - 4 = -2

3.Vergleichen Sie die Sekantensteigungen mit der Steigung der Tangenten in den gegebenen Punkten.

-4 | -3 | -2

Graphik

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