Flächensätze und Ähnlichkeit. Gleichseitiges Dreieck in Quadrat

Question

Hallo euch zusammen ich bin nicht so gut in Textaufgaben und habe deswegen eine Textaufgabe die ich nicht lösen kann.

Einem Quadrat mit der Seite a wird ein gleichseitiges Dreieck so einbeschrieben, dass eine Ecke genau mit der Ecke des Quadrates zusammenfällt. Bestime seine Seite.

Comments

Ist die gemeinsame Ecke eine Basisecke des gleichschenkligen Dreiecks oder dessen Spitze, also die Ecke des Dreiecks, bei der die beiden gleich langen Seiten sich treffen?

In beiden Fällen gibt es unendlich viele Lösungen! Gibt es noch weitere Angaben in der Textaufagbe?

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Nein leider nicht.

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Heißt es vielleicht gleichseitiges Dreieck?

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ja tschuldigung, falsch abgeschrieben

Answer 1

Die Frage ist doch: was hat die Aufgabe mit 'Ähnlichkeit' zu tun? Dazu muss man in diesem Fall etwas über den Horizont bzw. über das Quadrat hinaus denken:

man kann sich überlegen, dass das Dreieck \(\triangle B'BM\) ähnlich dem Dreieck \(\triangle BCP\) ist. Weiter ist \(|B'B|=|B'P|\) Dann kann man sich überlegen, dass das Dreieck \(\triangle B'P'P\) ebenso ein gleichseitiges ist, mit der Kantenlänge \(2a\) ist. Dann muss \(|AM'|=|DP| = (\sqrt{3}-1)a\) sein und aus dem Dreieck \(\triangle QPD\) folgt dann nach Pythagoras die Kantenlänge \(s\) des gesuchten gleichseitigen Dreiecks:

$$s = (\sqrt{3}-1)a \cdot \sqrt{2}= a(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$

was übrigens identisch mit \(s=4a/(\sqrt{6} + \sqrt{2})\) ist.

Answer 2

Hallo

das hat ja wenig mit Textaufgaben zu tun, und mehr mit einer Skizze, die man bei Geometriaufgaben immer als erstes macht. Was das mit Ähnlichket zu tun hat weiss ich nicht,

 ausnahmsweise liefer ich die Skizze, daraus solltest du die Rechnung ablesen können.

Gruß lul

Answer 3

sieht vielleicht so aus ?

~draw~ rechteck(0|0 4 4);dreieck(0|0 4|1 1|4);zoom(10) ~draw~

dann wäre für die Dreiecksseite x richtig:

cos(15°) = a / x

also  x = a/ cos(15°) = 4a/(√6+√2)