Hallo kashi,
~plot~ (-1/7)x^3+x^2;[[-3|+9|-2|8]];{3|36/7};(-9(x-7)/7)*(x>3)*(x<7) ~plot~
Die Fläche des Dreiecks oben ändern sich mit einem Wert \(x\) an seiner linken senkrechten Flanke bzw. dem Punkt \(B\). Die Höhe ist \(f(x)\) und die Grundseite ist \(7-x\), da die rechte Ecke \(C\) sich immer bei der Koordinate \(7\) befindet.
Da wir später Nullstellen finden müsen, schreiben ich \(f(x)\) gleich als Produkt:
$$f(x)= - \frac17 x^3 + x^2 = \left( -\frac17 x + 1\right) x^2 = \frac17(7 - x)x^2$$
Die Dreiecksfläche \(F(x)\) in Abhängigkeit von \(x\) ist: $$\begin{aligned}F(x) &= \frac{1}{2}f(x) \cdot (7-x) \\ &= \frac12 \cdot \frac17 (7-x)x^2 \cdot (7-x) \\ &= \frac{1}{14} \left( (7-x)x\right)^2 \end{aligned}$$ Jetzt nach \(x\) ableiten (mit der Kettenregel) und Nullsetzen - gibt: $$F'(x) = \frac{1}{7} (7-x)x(7-2x) = 0$$ da kann man die drei Nullstellen unmittelbar ablesen. Es ist \(x_1=0\), \(x_2=3,5\) und \(x_3=7\). Für \(x=0\) und \(x=7\) ist die Fläche offensichtlich 0; bleibt \(x_2=3,5\). Der Flächeninhalt ist dann $$F(x=3,5) = \frac{1}{14}\left((7-3,5) \cdot 3,5 \right)^2 = \frac{343}{32} \approx 10,7$$
