Dreieck mit maximalen Flächeninhalt unter einer Parabel

Question

ich brauche Hilfe bei der Aufgabe : f(x)= -1/7x³+x²

zu berechnen ist der maximale Flächeninhalt des Dreiecks sowie die x Koordinate für den Punkt B!

leider habe ich keinen ansatz wie ich die aufgabe lösen kann!

Villeicht klappt es mit ein bisschen starthilfe!

                                             

Answer 1

Hallo kashi,

Plotlux öffnen

f₁(x) = (-1/7)x³+x²Zoom: x(-3…9) y(-2…8)P(3|36/7)f₂(x) = (-9(x-7)/7)·(x>3)·(x<7)

Die Fläche des Dreiecks oben ändern sich mit einem Wert $x$ an seiner linken senkrechten Flanke bzw. dem Punkt $B$. Die Höhe ist $f(x)$ und die Grundseite ist $7-x$, da die rechte Ecke $C$ sich immer bei der Koordinate $7$ befindet.

Da wir später Nullstellen finden müsen, schreiben ich $f(x)$ gleich als Produkt:

$$f(x)= - \frac17 x^3 + x^2 = \left( -\frac17 x + 1\right) x^2 = \frac17(7 - x)x^2$$

Die Dreiecksfläche $F(x)$ in Abhängigkeit von $x$ ist: $$\begin{aligned}F(x) &= \frac{1}{2}f(x) \cdot (7-x) \\ &= \frac12 \cdot \frac17 (7-x)x^2 \cdot (7-x) \\ &= \frac{1}{14} \left( (7-x)x\right)^2 \end{aligned}$$ Jetzt nach $x$ ableiten (mit der Kettenregel) und Nullsetzen - gibt: $$F'(x) = \frac{1}{7} (7-x)x(7-2x) = 0$$ da kann man die drei Nullstellen unmittelbar ablesen. Es ist $x_1=0$, $x_2=3,5$ und $x_3=7$. Für $x=0$ und $x=7$ ist die Fläche offensichtlich 0; bleibt $x_2=3,5$. Der Flächeninhalt ist dann $$F(x=3,5) = \frac{1}{14}\left((7-3,5) \cdot 3,5 \right)^2 = \frac{343}{32} \approx 10,7$$

Comments

vielen Dank für die schnelle und einfache Erklärung!

Hab das jetzt alles ausführlich verstanden!

Answer 2

Fläche ist

A(x) = (7-x) * f(x) / 2

A ' (x) = (2x³ - 21x² +49x) / 7  ist 0 für x=0 oder x=7 oder x=3,5

Bei x=3,5 ist das Max.

Comments

vielen dank für die schnelle Antwort!

wie ist die erste ableitung =2x³ - 21x² +49x) / 7 zustande gekommen ?