Wie kriege ich die Extrema hierbei raus? f(x)=(sin(x))^{2}.

Question

Wie kriege ich die Extrema hierbei raus?

ich komme hierbei irgendwie nicht weiter..

f(x)=(sin(x))²

^{die Ableitungen haben ich gebildet..}

f'(x)=2*sin(x)*cos(x)

f''(x)=2(sin(x)² +cos(x)²)

f'(x)=0 -> cos(x)=0 ...

was nun ?

Answer 1

f'(x)=2*sin(x)*cos(x) = 0

    <=>  sin(x) = 0     v   cos(x) = 0

   <=>   x =n*pi          v     x =  pi/2  + n*pi

f''(x)=2(   - sin(x)2 +cos(x)2)  Fehler:  minus vor sin, dann

       =  4 cos(x)^2 - 2

f ' ' (n*pi) = 2 > 0,

f ' ' (pi/2 + n*pi) = -2  < 0 ,

also Minima bei n*pi und Maxima bei pi/2 + n*pi

Answer 2

Ich will´s mir leichtmachen.
Stell dir die sin-Kurve vor.
Und jetzt den Funktionswert quadrieren
Das Extremum des Funktionswert zum Quadrat
ist an derselben Stelle wie das Extremum der sin Funktion
sin ( pi/2) = 1 zum Quadrat dasselbe
sin ( 3/2 * pi ) = -1 zum Quadrat = 1

Ich weiß jetzt nur noch nicht ob die Nullstellen
der sin-Funktion als Exttremstellen der Quadratfunktion
gelten ( Steigung 0 ? )

Sonst nehmen wir einmal
f'(x)=2*sin(x)*cos(x)
f ´= 0
Satz vom Nullprodukt
sin(x) = 0
cos ( x ) = 0

Comments

Die Nullstellen vom Sinus sind die Tiefstellen vom Quadratsinus. (Finde ich irgendwie logisch...)