Steckbriefaufgabe. Parabel 3. Ordnung… und schliesst im ersten Quadranten mit x-Achse Fläche A = 27 ein.

Question

Ursprüngliche Überschrift: "Lösung einer Funktion finden - Form: 0 = x^4 * x^3 - 27"

Ich soll die Lösung für eine Umfangreichere Aufgabe folgender Funktion finden.

0 = 1/4ax^{4} + 1/3bx^{3} - 27

Hier Funktioniert weder PQ, Mitternacht oder Substitution. Das x Ausklammern hilft auch nicht.

akann mir jemand erklären, wie ich die Lösung davon finde?

EDIT: Kopie aus Kommentar:

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schliesst im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A = 27 ein.

Comments

Achtung: Überschrift * oder + ?

Ausserdem ist 0 = 1/4ax^{4} + 1/3bx^{3} - 27 eine Gleichung und keine Funktion.

0 = 1/4ax^{4} + 1/3bx^{3} - 27

ist zu ungenau. Sicher dass du das allgemein lösen musst?

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Überschrift und Aufgabentext passen nicht zusammen. Bitte Originalaufgabe nach reichen.

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Hallo

 wenn die Aufgabe wirklich wie innerhalb des Posts 4 ten Grades, mit allgemeinem a und b ist, kannst du sie nicht analytisch lösen, für a,b Zahlenwerte benutzt man ein numerisches Verfahren.

Was ist denn die "umfangreichere" Aufgabe? vielleicht liegt dein Problem schon beim Aufstellen dieser Gleichung.

Gruß lul

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Aufgabe:

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schliesst im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A = 27 ein.

Wie heisst die Gleichung dieser Parabel?

—————————-

Was lese ich heraus?

1. Geht durch O (0|0)

2. f‘(0)=0

3. f‘(2)=0

4. Integral von 0 bis x = 27

So erhalte ich:

1. 0=d

2. 0=c

3. 0=12+4b

4. 27 = F(x)-F(0) = 1/4x^{4} + 1/3bx^{3}

Jetzt wollte ich 3. und 4. durch addition oder subtraktion nach a und b auflösen. Aber eben komme wie oben beschrieben beim lösen der Gleichung nach x nicht weiter.

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Aufgabe:

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schliesst im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A = 27 ein.
Wie heisst die Gleichung dieser Parabel?

—————————-

Was lese ich heraus?

1. Geht durch O (0|0)
2. f‘(0)=0
3. f‘(2)=0
4. Integral von 0 bis x = 27

So erhalte ich:

1. 0=d
2. 0=c
3. 0=12+4b
4. 27 = F(x)-F(0) = 1/4x^{4} + 1/3bx^{3}

Jetzt wollte ich 3. und 4. durch addition oder subtraktion nach a und b auflösen. Aber eben komme wie oben beschrieben beim lösen der Gleichung nach x nicht weiter.

Answer 1

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schliesst im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A = 27 ein.

Ansatz:

$$ f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\\f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c $$

Nun die Bedingungen:

$$(1)\quad f(0)=0\Rightarrow d=0\\(2) \quad f'(0)=0\Rightarrow c=0\\(3)\quad f'(2)=0\Leftrightarrow 12\cdot a+4\cdot b=0\Leftrightarrow 3\cdot a+b=0\\(4) \int_0^k (a\cdot x^3+b\cdot x^2)dx\stackrel{!}{=}27  $$

schliesst im ersten Quadranten mit der x-Achse

Es sind also die Nullstellen gefragt!

$$ f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2=x^2\cdot (a\cdot x+b)=0\\x_{1/2}=0\qquad x_3=-\frac{b}{a}=:k $$

Nun das Integral lösen:

$$ \int_0^{-\frac{b}{a}} (a\cdot x^3+b\cdot x^2)dx=\Bigg[\frac{1}{4}\cdot a\cdot x^4+\frac{1}{3}\cdot b\cdot x^3\Bigg]_0^{-\frac{b}{a}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{b^4}{a^3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{b^4}{a^3}\\=-\frac{1}{12}\cdot \frac{b^4}{a^3}=27\Leftrightarrow b^4=-324\cdot a^3  $$Mit (3) ergibt das$$ (-3\cdot a)^4=-324\cdot a^3\Rightarrow \underline{a=-4}\quad und\quad \underline{b=12} $$

Insgesamt lautet die Parabel 3.Ordnung:

$$ f(x)=-4\cdot x^3+12\cdot x^2 $$

Comments

Danke, ich kann diese Aufgabe aber immernoch nicht lösen.

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Wo liegt denn dein Problem?

Answer 2

Da die 3.Ordnung gegeben ist, wähle ich den Ansatz  f(x)=ax²(x-b)=ax³+abx^2. Die Nebenbedingungen ergeben b=-3 und a=4.

Comments

Danke aber sorry ich kann sie nicht lösen....

Answer 3

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, 

Heisst. Man kann x^2 = (x-0)^2 ausklammern!

D.h. Ansatz

f(x) = ax^3 + bx^2

hat ein Extremum bei x=2

f ' (2) = 0

und schliesst im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A = 27 ein.

Hier dann noch das Integral.

Comments

Siehst du, wo mein Fehler ist ?

Also ist meine herausgelesene Info Nummer 2 falsch ?

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Dein Nr. 3 ist falsch.

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Ich dachte das sieht in etwa so aus.....

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Warum soll denn das Integral 0 sein?

Skizze ist ok.

Dein Nr. 3 stimmte nicht.

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Dein 3.Punkt stimmt  nicht es muss $$ \int_0^x f(x) dx=27 $$ lauten. Die Schwierigkeit liegt nun bei der oberen Grenze. Da aber die eingeschlossene Fläche von f mit der x-Achse gefragt ist, muss man nur die Nullstellen von f kennen. Eine kennst du schon aus der Ausfgabe x_1,2=0. die andere ist dann $$ x_3=-\frac{b}{a}. $$

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ohje ohje es ist natürlich 27.

super, danke !

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Auch danke für die Antwort aber ich kann sie nicht lösen.....

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Warum? Verstehst du nicht, wie hallo97 die obere Grenze; k = -b/a bestimmt hat?

Dort steht doch der Faktor (ax + b).

ax + b = 0 nach x auflösen | - b

ax = - b,

x = -b/a

Das ist die obere Integrationsgrenze. hallo97 hat dir doch alles fertig vorgerechnet.

Answer 4

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schliesst im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A = 27 ein.

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ( 0 ) = 0
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x
f ´ ( x ) = 3a * x^2 + 2b * x + c
f ´ ( 0 ) = 0  c => 0
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2
f ´ ( x ) = 3a * x^2 + 2b * x
f ´ ( 2 ) = 3a * 2^2 + 2b * 2 = 0
12a + 4b = 0
Nullstellen
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2  = 0
f ( x ) = x * ( a * x^2 + b * x ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
a * x^2 + b * x = 0
x * ( ax + b ) = 0
ax + b = 0
S = a * x^4 / 4 + b * x^3 / 3
[ a * x^4 / 4 + b * x^3 / 3 ] zwischen ax + b und 0 = 27
x = -b/a
Es kommt zwar das richtige heraus :
a = -4
b = 12
ist aber genauso kompliziert wie die anderen
Lösungen.

Comments

Danke, ich kann sie aber nach wie vor nicht lösen, ich glaube ich vergesse diese Aufgabe...

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Die Aufgabe hat keinen großen sitllichen
Nährwert außer das sie kompliziert ist.
Ich habe dann ein Matheprogramm genutzt.

Deine Skizze ist ok.
Bei der letzen Bedingung muß es allerdings
heißen
∫ f ( x ) dx zwischen 0 und x gleich 27.

Das Ganze ist nur noch Rechnerei.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Falls du im Basiswissen Diff- und Int.Rechnung
sicherer werden willst.

Hinweis : bei

http://www.abiturloesung.de/

gibt es in schriftlicher Form : Abiturklausuren ( Grund- und Leistungskurs ) deren Lösungen
Schritt für Schritt sowie Unterrichtsstunden auf Video dazu. Ich konnte dort eine Menge lernen.

Answer 5

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schliesst im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A=27 ein.

Ansatz:
$$\begin{aligned} f(x) &= ax^2\cdot(x-b) \\       &= a\cdot\left(x^3 - bx^2\right) \end{aligned}$$

$$f'(x) = a\cdot\left(3x^2 - 2bx\right)$$$$f'(2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad b=3$$(Wird im Folgenden verwendet:) $$F(x) = a\cdot\left(\dfrac{x^4}{4}-x^3\right)$$$$F(3)-F(0)=27 \quad\Leftrightarrow\quad a=-4$$ Ergebnis: $$f(x) = -4x^2\cdot(x-3).$$