Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schliesst im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A = 27 ein.
Ansatz:
f(x)=a⋅x3+b⋅x2+c⋅x+df′(x)=3⋅a⋅x2+2⋅b⋅x+c
Nun die Bedingungen:
(1)f(0)=0⇒d=0(2)f′(0)=0⇒c=0(3)f′(2)=0⇔12⋅a+4⋅b=0⇔3⋅a+b=0(4)∫0k(a⋅x3+b⋅x2)dx=!27
schliesst im ersten Quadranten mit der x-Achse
Es sind also die Nullstellen gefragt!
f(x)=a⋅x3+b⋅x2=x2⋅(a⋅x+b)=0x1/2=0x3=−ab= : k
Nun das Integral lösen:
∫0−ab(a⋅x3+b⋅x2)dx=[41⋅a⋅x4+31⋅b⋅x3]0−ab=41⋅a3b4−31⋅a3b4=−121⋅a3b4=27⇔b4=−324⋅a3Mit (3) ergibt das(−3⋅a)4=−324⋅a3⇒a=−4undb=12
Insgesamt lautet die Parabel 3.Ordnung:
f(x)=−4⋅x3+12⋅x2