Zeigen Sie: ∀x(P(x) v Q(x)) und ∀xP(x) v ∀xQ(x) sind nicht äquivalent

Question

Aufgabe 7 Zeigen Sie, dass
∀x(P(x) v Q(x)) und ∀xP(x) v ∀xQ(x)
nicht aquivalent sind.

wie kann man das zeigen?

Comments

Ich bin durch die Überschrift auf deine Frage aufmerksam geworden.

---

Hä? Wie meinst du das? Stimmt irgendwas nicht mit der Überschrift?

---

Ne, jetzt wurde sie editet. Vorher stand ".................." da.

Answer 1

Du kannst einfach ein Gegenbeispiel angeben. Z.B. so:

P(x):= x ist gerade

Q(x):= x ist ungerade

Dann ist \(\forall x\in\mathbb{N}:(P(x)\vee Q(x))\) sicherlich richtig (jede natürliche Zahl ist gerade oder ungerade).

Aber \(\forall x\in\mathbb{N}:P(x) \vee \forall x\in\mathbb{N}: Q(x)\) ist falsch, denn anderenfalls müsste eine der Aussagen auf alle natürlichen Zahlen zutreffen. Das ist aber nicht der Fall.

Answer 2

man könnte ∀xP(x) v ∀xQ(x) in pränexnormalform bringen
dann würde man ∀x∀y: (P(x) v Q(y)) erhalten

da ∀x(P(x) v Q(x)) bereits in der pränexnormalform ist folgt daraus:

∀x(P(x) v Q(x)) nicht äquivalent zu ∀x∀y: (P(x) v Q(y))