Grenzwerte
f(x) →∞ für x→∞ bedeutet, dass die Funktionswerte beliebig groß werden können, und auch groß bleiben, wenn x beliebig groß wird.
Notation.
limx→∞ f(x) = ∞ (ausgeprochen "Der Grenzwert von f(x) für x gegen ∞ ist ∞.")
Für x→∞ gilt f(x) →∞.
f(x) →∞ für x→∞.
Beispiel.
limx→∞ (1/4·x + sin(x)) = ∞
limx→∞ (x·sin(x)) existiert nicht.
Aufgabe. Vergleiche die Graphen der beiden Funktionen mit einem Taschenrechner oder einem Computerprogramm.
Potenzfunktionen sind Funktionen der Form f(x) = axn.
Es gilt limx→∞ f(x) = ∞ falls a > 0 ist.
Es gilt limx→∞ f(x) = -∞ falls a < 0 ist.
Es gilt limx→-∞ f(x) = limx→∞ f(x) falls n gerade ist.
Es gilt limx→-∞ f(x) = - limx→∞ f(x) falls n ungerade ist.
Beispiel.
limx→∞ 3x5 = ∞, weil 3 > 0 ist.
limx→∞ -7x6 = -∞, weil -7 < 0 ist.
limx→-∞ 3x5 = - limx→∞ 3x5 = -∞, weil 5 ungerade ist.
limx→-∞ -7x6 = limx→-∞ -7x6 = -∞, weil 6 gerade ist.
Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen.
Beispiel. f(x) = -x5+2x3-4x+6
limx→±∞ f(x) wird bei ganzrationalen Funktionen anhand des Summanden bestimmt, bei dem das x den größten Exponenten hat. In obigen Beispiel wird also nur -x5 für die Bestimmung verwendet.
Verhalten nahe bei 0. Nahe bei 0 wird das Verhalten von ganzrationalen Funktionen anhand der Summanden bestimmt, bei denen das x kleine Exponenten hat. Die Funktion aus dem Beispiel sieht nahe bei 0 also ungefähr so aus wie die Funktion
g(x) = -4x + 6,
also wie eine lineare Funktion mit Steigung -4 und y-Achsenabschnitt 6.
Vollständige Beispiel. Sei f(x) = -x3 + x2 + 100x -1.
Es ist
(1) limx→∞ f(x) = -∞
wegen -1 < 0. Außerdem ist
(2) limx→-∞ f(x) = - limx→-∞ f(x) = ∞
wegen (1) und weil 3 ungerade ist. Des weiteren gilt
(3) f schneidet die y-Achse bei -1
wegen (2) muss f also eine negative Nullstelle haben. außerdem hat
(4) f bei 0 eine Steigung von 100.
wegen (2) hat also f einen Tiefpunkt mit negativer x-Koordinate. Wegen (1) hat f einen Hochpunkt mit positiver x-Koordinate.
Wegen dem geringen y-Achsenabschnitt und der hohen Steigung dort erwarte ich, dass der Hochpunkt eine positive y-Koordinate hat. Das würde wegen (1) und (3) zu zwei weiteren Nullstellen mit positiver x-Koordinate führen. Da könnte ich mich aber auch irren.
