Welcher Punkt mit der Gleichung y=lnx legt mit dem Punkt P(0/1) eine möglichst kurze Strecke fest?

Question

Ich habe mit Q(u/f(u)) gerechnet:

f(u)=lnu

f’(u)=1/u

Dann die Steigunf auf 2 Arten ausgedrückt:

1-lnu / 0-u = -u

1-lnu=u^2

Q(1/0)

Gibt es noch eine andere möglichkeit diese Aufgabe zu lösen? Und wieso muss man bei der Steigung auf 2 Arten -1/f’(u) rechts einsetzen und nicht einfach nur f’(u)?

Danke schonmal für die Hilfe

Comments

Meinst du diesen Sachverhalt ?

Welcher Punkt auf f = ln(x) hat den kürzesten
Abstand zu ( 0 | 1 ) ?

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Genau diesen Sachverhalt meine ich

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1-lnu / 0-u = -u

Achte bitte auf korrekte Klammerung.

Answer 1

Idee der Rechnung ist, dass der Punkt Q(u|ln(u)) dann möglichst nahe am Punkt P liegt, wenn die Gerade PQ senkrecht zur Funktion ln(x) an der Stelle u verläuft (Veranschaulichung weiter unten). Hat eine Funktion an der Stelle u die Steigung f'(u), dann hat die lineare Funktion, die dort senkrecht zu der Funktion verläuft (die sogenannte Normale) die Steigung -1/f’(u).

Die andere Möglichkeit ist natürlich, mittels Pythagoras einen Term für den Abstand zwischen P und Q aufzustellen:

        d(u) = √( (0-u)² + (1-ln(u))² )

Berechne dann das Minimum dieser Funktion. Dazu reicht es aus, das Minimum der Funktion

        d²(u) = (0-u)² + (1-ln(u))²

zu berechnen, weil die Wurzelfunktion monoton steigend ist.

Veranschaulichung obiger Aussage. Zeichne den Punkt P und die Logarithmusfunktion in ein Koordinatensystem ein. Markiere den Punkt R(1,5 | ln(1,5)) auf dem Funktionsgraphen. Zeichne

• die Strecke PR,
• einen Kreis um P durch R,
• die Tangente der Funktion bei R.

Alle Punkte des Funktionsgraphen, die innerhalb des Kreises liegen, sind näher an P, als der Punkt R. Wie müssen Strecke und Tangente zueinander liegen, damit kein Punkt des Funktionsgraphen innerhalb des Kreises liegt?

Answer 2

P ( 0 | 1 )
P2 ( x | f ( x ) )
P2 ( x | ln ( x ) )

abstand ^2 = ( delta x ) ^2 + ( delta y ) ^2
abstand  = √ [ ( delta x ) ^2 + ( delta y ) ^2 ]
Extremwerte
abstand  ´ =  ( √ [ ( delta x ) ^2 + ( delta y ) ^2 ] ) ´

Vereinfachung
( √ term ) ´ = term ´/ ( 2 * √ term  )
Extremwert
term ´ / ( 2 * √ term  ) = 0  => term ´= 0

[ ( delta x ) ^2 + ( delta y ) ^2 ] ´ = 0
delta x = x - 0 = x
delta y = ln ( x ) - 1

[ x ^2 + ( ln ( x ) - 1 ) ^2 ] ´
[ x^2 + ln(x) ^2 - 2 * ln(x) + 1 ] ´

2x - 2/x + 2 * ln(x) / x = 0
2 * ( x^2 - 2 + ln(x) ) = 0
x^2 - 1 + ln(x) = 0
x = 1

f ( 1 ) = ln (1 ) = 0

P2 ( 1 | 0 )

Answer 3

Den Abstand wird mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet:$$d(x,y)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$$ Ferner hast du den Punkt \((a|b)\) gegeben, welchen du nun in die Funktion einsetzt:$$d(x,y)=\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2}$$ Für \(y\) setzt du nun \(\ln(x)\) ein:$$d(x)=\sqrt{(x-0)^2+(\ln(x)-1)^2}$$ Untersuche die lokalen Minima dieser Funktion.

Die Ableitung bestimmst du ganz einfach mit der Regel \((\sqrt{\text{Term}})'=\frac{\text{Term'}}{2\sqrt{\text{Term'}}}\). Du erhätlst:$$d'(x)=\frac{\ln\left(x\right)+x^2-1}{x\sqrt{\left(\ln\left(x\right)-1\right)^2+x^2}}$$ Suche die Nullstellen der Funktion. Vorab bestimme den Definitionsbereich.

Comments

Hallo Wurzel,
nochmals der HInweis
falls
term ´/ ( 2 * √ term ) = 0
vorliegt folgt daraus
term ´= 0
( Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist )
Das vereinfacht die weiteren Berechnungen.

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Danach habe ich gesucht - Ist notiert!

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@ racine_carrée:

(1) Die Regel lautet:
$$\left(\sqrt{v(x)}\right)' = \dfrac{v'(x)}{2\cdot\sqrt{v(x)}}$$

(2) Deine Ableitung ist falsch.

Answer 4

Hallo

 der Abstand d  bzw. Abstandquadrat d^2  zwischen P(0,1) und Q(u,ln(u))

ist d^2=u^2+(1-ln(u))^2) der soll ein Min werden. Das ist ein Weg , d^2 ableiten und 0 setzen

der andere Weg ist, die Steigung der Strecke PQ zu bestimmen, und die soll senkrecht auf dem Graphen stehen,  also =-1/f'(u) sein .Das hast du anscheinend gemacht.

Gruß lul

Answer 5

Welcher Punkt \(Q\left(u\vert\ln(u)\right)\) mit der Gleichung \(y=\ln(x)\) legt mit dem Punkt \(P(0\vert 1)\) eine möglichst kurze Strecke fest?

Offenbar ist \(Q\) der Schnittpunkt der Funktion \(y=\ln(x)\) mit ihrer Normalen durch \(P\) in \(Q\). Die Normalensteigung lässt sich daher durch den Differenzenquotienten von \(P\) und \(Q\) ausdrücken (linke Seite), aber auch durch den negativen Kehrwert der Tangentensteigung (rechte Seite). Dies ergibt die Bestimmungsgleichung

$$\dfrac{1-\ln(u)}{0-u} = -u$$mit der Lösung \(u=1\) für den Punkt \(Q\left(1\vert\ln(1)\right)\).