Question

Die Mittelpunkte von zwei sich berührenden Kreisen mit den Radien r=2 und r=18 liegen auf der positiven x-Achse. Die beiden äusseren gemeinsamen Tangenten gehen durch den Ursprung des Koordinatensystems.

Ich habe:

M1:(x/0) k:(x-u)² + y² =4

M2:(x/0) k:(x-u)² + y² = 324

weil ja der 1. Radius 2 ist habe ich (2/0) in k eingesetzt und x=2 bekommen, das gleiche auch bei Kreis 2

Die Lösung wäre aber bei k1: 2.5 und bei k2: 22.5

Ausserdem weiss ich nicht was ich mit der Information "Die beiden äusseren gemeinsamen Tangenten gehen durch den Ursprung des Koordinatensystems." anfangen soll

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Answer 1

...  weiss ich nicht was ich mit der Information "Die beiden äusseren gemeinsamen Tangenten gehen durch den Ursprung des Koordinatensystems." anfangen soll

Schau Dir mal folgende Skizze an:

 

Dort siehst Du zwei (blaue) Kreise, deren Mittelpunkte auf der X-Achse liegen (die waagerechte Strich-Punkt-Linie). Die beiden gemeinsamen Tangenten (grün) schneiden sich im Ursprung \(O\) des Koordinatensystems. Wenn ich den Mittelpunkt des kleinen Kreises mit \(M_1\) und den des großen Kreises mit \(M_2\) bezeichne, dann sind ihre Koordinaten: $$\begin{aligned} M_1 &= \left( u \,| \, 0\right) \quad \text{ mit } u=|OM_1|\\ M_2 &= \left( u+20\, | \, 0\right) \end{aligned}$$ Die 20 ist die Summe der beiden Radien 2 und 18. Unbekannt ist also nur noch die X-Koordinate \(u\) von \(M_1\).

Ich habe parallel zu der oberen Tangente die Strecke \(M_1Q\) und senkrecht dazu den Radius \(M_2T\) eingezeichnet. \(T\) ist der Berührpunkt der Tangente mit dem Kreis um \(M_2\) und \(Q\) der Schnittpunkt der Parallelen durch \(M_1\) mit eben diesem Radius. Dann bilden die Punkte \(M_1\), \(M_2\) und \(Q\) ein rechtwinkliges Dreieck (rot), von dem wir zwei Seiten direkt ablesen können. Es ist \(|M_1M_2| = 2 + 18 = 20\) (s.o. Koordinate von \(M_2\)) und \(|QM_2|=18-2=16\), da die Parallele durch \(M_1\) genau um den Radius 2 zur Tangente versetzt ist. Ein ähnliches Dreieck findet man (grün markiert) bei \(\triangle OM_1S\). Wegen der Ähnlichkeit müssen alle Verhältnisse aller Strecken der beiden Dreiecke gleich sein. D.h.:

$$\frac{|OM_1|}{|SM_1|} = \frac{|M_1M_2|}{|QM_2|} = \frac{18+2}{18-2} = \frac54$$ \(|SM_1|\) ist aber der Radius des kleinen Kreises \(|SM_1|=2\). Daraus folgt $$|OM_1| = u = \frac54 \cdot 2 = 2,5 \\ |OM_2| = u + 20 = 2,5 + 20 = 22,5$$

Comments

Vielen Dank für die Ausführliche Antwort!

Jetzt verstehe ich es

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Du hast ja am Anfang versucht, die Aufgabe mit den Kreisgleichungen zu lösen. Grundsätzlich ist das natürlich möglich. Die Gleichungen für die Kreise lauten: $$(x-u)^2+y^2=4 \\ (x-(u+20))^2 + y^2 = 324 \\$$wobei \(u\) - wie oben - die X-Koordinate des ersten (kleineren) Kreises ist. Eine Tangente durch den Ursprung hat die allgemeine Form $$y = mx$$ Die Tangente bringe ich nun mit beiden Kreisen zum Schnitt; d.h. ich setze für \(y\) das \(mx\) ein: $$\begin{aligned}&x^2(1+m^2) - 2ux + u^2 - 4 = 0  &(1)\\&x^2(1+m^2)-2x(u+20) +(u+20)^2-324 = 0 \quad &(2) \end{aligned}$$ Das sind zwei quadratische Gleichungen für \(x\). \(m\) und \(u\) sind aber noch unbekannt. Setzt man sie als bekannt voraus, könnte man \(x\) mit der bekannten Mitternachtsformel: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ lösen. Da es sich aber bei \(y=mx\) in beiden Fällen um eine Tangente handelt, darf es aber nur eine Lösung für \(x\) geben. Und dies ist genau dann der Fall, wenn der Ausdruck unter der Wurzel \(D=b^2-4ac\) zu 0 wird.

Aus den Gleichungen (1) und (2) kann man das \(D\) extrahieren. D.h. es muss gelten: $$\begin{aligned}&D_1= 4u^2 - 4 \cdot (1+m^2) \cdot(u^2-4) = 0  &(3) \\&D_2 = 4(u+20)^2 - 4 \cdot(1+m^2) \cdot ((u+20)^2-324) = 0 &(4) \end{aligned}$$ aus (3) folgt $$1+m^2 = \frac{u^2}{u^2-4}  \quad (5)$$ das in (4) einsetzen gibt nach einigen Umformungen die Lösung für \(u\): $$\begin{aligned} & 4(u+20)^2 - 4 \frac{u^2}{u^2-4} \cdot ((u+20)^2-324) = 0&(6)\\ & (u+20)^2 - \frac{u^2}{u^2-4} \cdot (u+38)(u+2) = 0&(7)\\ & (u+20)^2(u-2) - u^2 \cdot (u+38) = 0&(8)\\& u^3 +38u^2 +320u -800 - u^3-38u^2 = 0&(9)\\ & 320u =800 \\ & u= \frac{800}{320} = 2,5\end{aligned}$$ die elementar geometrischen Überlegungen sind natürlich viel einfacher, aber so ginge es auch.

Gruß Werner

Answer 2

Die Mittelpunkte von zwei sich berührenden Kreisen mit den Radien r=2 und r=18 liegen auf der positiven x-Achse.

Dann haben die Kreise die Gleichungen k₁:(x-u)² + y² =4 und k₂:(x-v)² + y² = 324 mit v=u+20 oder v=u-20.

Comments

So sieht das aus:

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Habe es eingesetzt aber dann bleibt

400-40x+40u=325

Oder 400+40x-40u=325

Wie muss ich weiterrechnen?

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Ich weiß nicht, was du da rechnest. Du musst mit den Strahlensatz arbeiten:

u/(u+20)=2/18. Dann ist u=5/2 und v=20+5/2.