Integral von gebrochenrationaler Funktion f(x) = (x^3 - x^2 -1)/(x^2 - x- 2) bestimmen.

Question

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Löse folgendes Integral:

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\left(x^3-x^2-1\right)}{\left(x^2-x-2\right)} \text{d}x$$

Es handelt sich um ein unbestimmtes Integral

Ich habe schon so viel versucht, z.B.:

\((x^3-x^2-1) \cdot \ln(x^2-x-2)\), doch dann habe ich wegen partieller integraton einen immer längeren Term.

MfG

f(x) = (x^3 - x^2 -1)/(x^2 - x- 2)

Comments

Hast du schon versucht

f(x) = (x^3 - x^2 -1)/(x^2 - x- 2)

zu vereinfachen?

1. Polynomdivision mit Rest.

2. vielleicht noch faktorisieren und kürzen

Dann die Summe integrieren.

Bei deinem Beispiel könnte erst mal Folgendes herauskommen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+(x%5E3+-+x%5E2+-1)%2F(x%5E2+-+x-+2)

Nun noch integrieren.

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Es handelt sich um ein unbestimmtes Integral

Das tut es nicht. Es ist ein uneigentliches Integral. Die obere Grenze ist Unendlich, außerdem liefert der Integrand mit seiner Polstelle \(x=2\) im Integrationsintervall eine Unendlichkeitsstelle.

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Der Hinweis auf "unbestimmtes Integral" bezieht sich wohl nur darauf, dass bei der Vorauswahl des Latex-Integrals die Grenzen mit angegeben werden, hier aber nicht gebraucht werden ;).

Answer 1

Hi,

Mach erstmal eine Polynomdivision ;).


$$\frac{x^3-x^2-1}{x^2-x-2} = x + \frac{2x-1}{x^2-x-2}$$

Den ersten Summanden kann man nun gut integrieren. Bei letzterem sollte man sich an die Regel \(\int\frac{f'}{f} = \ln(f)+c\) erinnern.


Damit ergibt sich dann direkt:

$$\frac{x^2}{2} +  \ln(x^2-x-2) + c$$


Grüße

Comments

Genau so steht es auch auf integralrechner.de

Doch wenn ich eine Polynomdivision mit der Nullstelle 1,47 mache bekomme ich einen Rest.

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Dass Du einen Rest bekommst, ist nicht weiter verwunderlich. x = 1,47 ist nur ein Näherungswert.

Warum willst Du aber eine Polynomdivision mit (x - 1,47) machen? Das ist ein anderes Kapitel.

Hier direkt die Division ausführen, wie sie bereits dasteht ;).

Answer 2

Mache eine Polynomdivision und

zerlege den Nenner des Restes  in (x+1)(x-2)  und .

Gibt mit Partialbruchzerlegung dann

x  +  1/(x+1)   +   1/(x-2)

Das sollte leicht zu integrieren sein.

Answer 3

du brauchst hier gar keine Stammfunktion finden. Es ist lim x---> ∞ f(x) =∞, das Integral existiert also gar nicht.

PS: man integriert sogar noch über eine Nullstelle des Nenners hinweg, schlimmer gehts nimmer ! ;)

Answer 4

hier nun der 2. Teil der Aufgabe,den Du sollst es ja anscheinend berechnen: