Differentialrechnung: Tangenten Gleichung Bestimmen & Berührpunkte ausrechnen

Question

Vom Punkt A aus werden Tangenten an das Schaubild K der Funktion f gelegt. Bestimmen Sie die Gleichungen dieser Tangenten und die Berührpunkte.


f(x) = e^0,25x


A (4/0)


Dankeschön im Voraus

MFG Julian

Answer 1

Wir haben den Grafen der Funktion f(x) und einen Punkt P(Px | Py). Sollen jetzt Tangenten durch P an den Graphen gelegt werden gilt:

(f(x) - Py) / (x - Px) = f'(x)

Die Steigung zwischen einem Punkt des Graphen und dem Punkt muss genau so groß sein wie die Steigung in dem Punk des Graphen.

Wir setzen mal ein was wir haben

(e^{0.25x} - 0) / (x - 4) = e^{0.25x} * 0.25
e^{0.25x} = e^{0.25x} * 0.25 * (x - 4)
e^{0.25x} * (0.25x - 1) - e^{0.25x} = 0
e^{0.25x} * (0.25x - 2) = 0
0.25x - 2 = 0
0.25x = 2
x = 8

Die Stelle sollte also 8 sein.

f(8) = e^{0.25*8} = e^2
f'(8) = 0.25e^2

Aufstellen der Tangente

t(x) = 0.25e^2 * (x - 8) + e^2 = 0.25e^{2}*x - 2e^2 + e^2 = 0.25e^{2}*x - e^2

Skizze

Answer 2

Allgemeine Tangentengleichung lautet wie folgt:

t: y - f(a) = f'(a) * (x - a), wobei der Punkt (a | f(a)) ein Punkt der Funktion f(x) und der Tangente t  ist.

f'(x) = 0,25*e^0,25x

f'(a) = 0,25*e^0,25a

f(a) = e^0,25a

y - e^0,25a = 0,25*e^0,25a (x -a )

Da die Tangente durch den Punkt A(4|0) geht, folgt

0 - e^0,25a = 0,25*e^0,25a (4 -a )

0 = 0,25*e^0,25a (4 -a ) +  e^0,25a = e^0,25a (0,25*(4 - a) +1) = e^0,25a (0,25*4 - 0,25*a + 1) = e^0,25a (2 - 0,25a)

Entweder ist der erste Term e^0,25a 0 oder der 2. Term (2 - 0,25a) ist Null. Da die e-Funktion bei Null nicht definiert ist, werten wir den 2. Term aus:

2 - 0,25*a = 0 => a = 8 (Der Berührungspunkt Funktion und Tangente ist P(8|e²))

Daraus folgt:

f'(a = 8) = 0,25*e^0,25*8= 0,25*e² und  f(a = 8) = e^0,25*8= e²

Tangentengleichung: y - e² = 0,25e²(x - 8) => y = 0,25e²*x - e²