Normalenvektor Pyramide: Bsp. Wo trifft der Schacht auf die Grundfläche der Pyramide?

Question

Ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe und hoffe deshalb, dass mir jemand zumindest sagen kann, wie ich hier vorzugehen habe.

“Eine Seitenfläche einer Pyramide hat die Eckpunkte A (100/-100/0), B (100/100/0) und S (0/0/250). Die Sonne fällt zu einer bestimmten Tageszeit exakt in einen Schacht, der vom Punkt P (80/-60/50) aus senkrecht zur Seitenfläche der Pyramide in das Innere führt.

a) Gesucht ist der Vektor n, der die Richtung des Sonnenlichts angibt.

b) Wo trifft der Schacht auf die Grundfläche der Pyramide?“

Besonders die Aufgabe b) bereitet mir Schwierigkeiten. Ich bedanke mich schon mal im voraus.

Comments

Die Grundfläche der Pyramide hat (vermutlich) die Gleichung G: z=0.

D.h. dann, dass du in der Geradengleichung (Parametergleichung) für den Schacht die z-Koordinate Null setzen und so den Parameter bestimmen kannst.

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Vom Duplikat:

Titel: Vektorrechnung Pyramide: Bsp. Wo trifft der Schacht auf die Grundfläche der Pyramide?

Stichworte: vektoren,pyramide,schacht,grundfläche,vektorrechnung

Aufgabe:

Eine Seitenfläche einer Pyramide hat die Eckpunkte A(100|-100|0), B(100|100|0) und S (0|0|250). Die Sonne fällt zu einer bestimmten Tageszeit exact in einen Schacht, der vom Punkt P(80|-60|50) aus senkrecht zur Seitenfläche der Pyramide in das Innere führt.

Problem/Ansatz:

a) Wie lautet der Vektor n, der die Richtung des Sonnenlichts angibt?

b) Wo trifft der Schacht auf die Grundfläche der Pyramide?

Answer 1

Hallo Hans-Jürgen,

Es ist in jedem Fall sinnvoll, den Normalenvektor \(\vec{n}\) der Seitenfläche zu bestimmen. Das kann man entweder 'sehen', nachdem man sich eine Skizze gemacht hat

\(\vec{n}=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 \end{pmatrix}^T\) oder man stellt die Koordinatenform der Seitenebene \(s\) auf. Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind \(x_S=100\), \(z_S=S_z=250\) und die Y-Achse wird nicht geschnitten - also: $$s: \space \frac{x}{100} + \frac{z}{250} = 1$$ $$\Rightarrow s: \space 5x + 2 z = 500 \quad \Rightarrow \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \vec{x} = 500$$ oder Du berechnest \(\vec{n}\) aus dem Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AS}\). \(f\) ist ein Faktor: $$f \cdot \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AS} = \begin{pmatrix} 0 \\ 100 \\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -100 \\ -100 \\ 250\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25000 \\ 0 \\ 10000 \end{pmatrix} = 5000 \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} $$

Daraus lässt sich nun die Geradengleichung \(g\) für den Schacht aufstellen. Es ist: $$g: \space \vec{x} = P + t \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 80 \\ -60 \\ 50\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$$ Die Grundfläche der Pyramide liegt hier wohl bei \(z=0\). Damit kann man aus der Z-Koordinate der Geradengleichung das zugehörige \(t_G\) bestimmen: $$0 = 50 + t_G \cdot 2 \space \Rightarrow t_G = -25$$ Einsetzen in \(g\) gibt den Schnittpunkt \(X\) mit der Grundfläche: $$X = \vec{x}(t_G) = \begin{pmatrix} 80 \\ -60 \\ 50\end{pmatrix} - 25\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -45 \\ -60 \\ 0\end{pmatrix}$$ Klicke oben auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus drehen. Bem.: die Richtung des Sonnenlichts wäre hier zwar \(-\vec{n}\), da angenommen werden kann, dass die Sonne von schräg oben auf die Pyramide scheint, aber es ist üblich diesen Vektor möglichst mit positiven Koordinaten darzustellen.

Answer 2

Hallo

 a) schreibe die Ebene in der Koordinatenform. dann kennst du den Normalenvektor.

b, schneide die Gerade mit Richtung des Normalenvektors und durch den Punkt P mit der Grundfläche der Pyramide

Gruß lul

Answer 3

a)

AB = [0, 200, 0]

AS = [-100, 100, 250]

n = [0, 200, 0] x [-100, 100, 250] = [50000, 0, 20000] = 10000·[5, 0, 2]

b)

[80, -60, 50] + r·[5, 0, 2] = [x, y, 0] --> x = -45 ∧ y = -60 ∧ r = -25 → [-45, -60, 0]

Comments

und wie genau wurde das jetzt gerechnet?

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https://www.mathelounge.de/564657/normalenvektor-pyramide

Genügen die dir gesammelten Antworten nicht? Was genau verstehst du nicht?

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Eine Frage meinerseits, da ich gerade diese Aufgabe bearbeite: Als Kreuzprodukt erhält man ja zunächst einen Vektor mit höheren Werten, die sich kürzen lassen, in der Aufgabe ist der Vektor zunächst: (25.000/0/10.000).

Woher weiß ich, dass ich diesen Vektor für die weitere Berechnung mit 5.000 kürzen muss?

Wenn ich den Ausgangsvektor, den ich beim Kreuzprodukt erhalte, mit der XY-Ebene gleichsetze, erhalte ich natürlich ebenfalls einen Wert für r und dementsprechend theoretisch einen weiteren Schnittpunkt mit der XY-Ebene. Wie kann das sein, es gibt doch eigentlich nur einen?!

Bitte um Erklärung :)

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Woher weiß ich, dass ich diesen Vektor für die weitere Berechnung mit 5000 kürzen muss?

Du musst den Normalenvektor nicht kürzen. Aber ich rechne lieber mit kleinen Zahlen anstatt mit so riesigen.

Man hätte auch bereits die Richtungsvektoren

AB = [0, 200, 0]
AS = [-100, 100, 250]

kürzen können, weil es ja nicht auf deren Länge sondern nur auf deren Richtung ankommt.

Wenn ich den Ausgangsvektor, den ich beim Kreuzprodukt erhalte, mit der XY-Ebene gleichsetze, erhalte ich natürlich ebenfalls einen Wert für r und dementsprechend theoretisch einen weiteren Schnittpunkt mit der XY-Ebene. Wie kann das sein, es gibt doch eigentlich nur einen?!

Dann mach das doch einfach mal.

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Habe ich vorhin gemacht und tatsächlich einen anderen Punkt erhalten. Habe ich mich verrechnet, weil du schon so fragst? Bitte um Aufklärung

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Dann wirst du dich wohl verrechnet haben.