Vektorgeometrie: Grundfläche einer Pyramide

Question

Ich komme bei einigen Punkten einer Aufgabe nicht mehr weiter :S Kann mit jemand helfen, ich weiss nicht wie ich bei den Aufgaben vorgehen soll. Ich wäre für Tipps dankbar!

Bei der Dreickspyramide mit der Grundfläche ABC und der Spitze S kennt man folgendes

Die Punkte A(-2/-1/1) & B(1/1/-1)
Die Seitenfläche von ASC lautet: -15x + 2y + 4z - 32 = 0 und von BSC: -2x -3y + z + 6 = 0
Den Höhenfusspunkt F(-2/1/0) (liegt in der Grundfläche ABC und die Strecke FS liegt senkrecht zu dieser.

Aufgaben:
Beweise dass der Punkt A in ASC liegt, aber nicht in BSC.
Bestimme den Punkt S
Bestimme das Volumen der Dreieckspyramide.

Comments

Spitze S? erledigt.

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Upps, genau Spitze S und in dann auch Punkt S ( und nicht G)

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in dem Fall wohl auch FS und nicht FG. Ich ändere das noch oben.

Answer 1

Beweise dass der Punkt A in ASC lieg, aber nicht in BSC.

Wir können dafür A einfach in die Ebenengleichungen einsetzen

ASC:  -15(-2) + 2(-1) + 4(1) - 32 = 0
Das stimmt. Somit liegt A in der Ebene

BSC: -2(-2) - 3(-1) + (1) + 6 = 0 
Das stimmt nicht. Somit liegt A nicht in der Ebene.

Bestimme den Punkt G

Man könnte erstmal die Ebene ABF = ABC aufstellen

ABF: [-2,-1,1] + r * ([1,1,-1] - [-2,-1,1]) + s * ([-2,1,0] - [-2,-1,1])
[-2,-1,1] + r * [3, 2, -2] + s * [0, 2, -1]

Hiervon kann ich den Normalenvektor über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen.

n = [3, 2, -2] x [0, 2, -1] = [2, 3, 6]

Der Punkt G befindet sich also auf einer Geraden

x = [-2,1,0] + r * [2, 3, 6] = [2·r - 2, 3·r + 1, 6·r]

Das kannst du jetzt in eine Ebenengleichung einer Seite einsetzen um G zu bestimmen.

ASC: -15(2·r - 2) + 2(3·r + 1) + 4(6·r) - 32 = 0
0 = 0 

Offensichtlich ist die Gerade in der Ebene. Ich setzte das mal in die andere Ebenengleichung ein.

BSC: -2(2·r - 2) - 3(3·r + 1) + (6·r) + 6 = 0 
7 - 7·r = 0
r = 1

G = [2·1 - 2, 3·1 + 1, 6·1] = [0, 4, 6]

Bestimme das Volumen der Dreieckspyramide. Es wäre jetzt günstig C zu kennen. C liegt aber in den 3 Ebenen die wir bisher kennen.

ASC: -15x + 2y + 4z - 32 = 0
BSC: -2x -3y + z + 6 = 0
ABF: [-2,-1,1] + r * [3, 2, -2] + s * [0, 2, -1]
oder in Normalenform 
ABF: x * [2, 3, 6] = [-2,-1,1] * [2, 3, 6]
ABF: 2x + 3y + 6z = -1

Das LGS kann ich lösen und es ergibt sich die Lösung x = -2 ∧ y = 3 ∧ z = -1. Das ist also der Punkt C.

Jetzt haben wir A, B, C und G und können das Volumen über das Spatprodukt ausrechnen.

V = 1/6 * (AB x AC) * AG = 1/6·(([1, 1, -1] - [-2, -1, 1]) ⨯ ([-2, 3, -1] - [-2, -1, 1]))·([0, 4, 6] - [-2, -1, 1])
V = 49/3 = 16.33

Comments

Wie kommst du genau auf c? Diese Zeichen  ∧ sind mir unbekannt...

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ABF: [-2,-1,1] + r * [3, 2, -2] + s * [0, 2, -1]

 

Bis hier verstehe ich es. Aber wie ich dan auf ABF: 2x + 3y + 6z + 1 = 0 komme ist mir schleierhaft...

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Dazu nehme ich ein Teil der Parametergleichung

x = [-2,-1,1]

Und multipliziere beide Seiten mit dem Normalenvektor, den ich erhalte, wenn ich das Kreisprodukt der beiden Richtungsvektoren nehme.

[3, 2, -2] x [0, 2, -1] = [2, 3, 6]

Also 

 

x * [2, 3, 6] = [-2,-1,1] * [2, 3, 6]

2x + 3y + 6z = -1

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Ahh super jetzt habe ich es verstanden !! Danke für die Hilfe

Answer 2

Anmerkung: Ich benutze bei Vektoren statt einem Pfeil, die fette Schrift.

Es gibt hier einiges zu rechnen. Hier mal eine möglich Anleitung für die Rechnungen:

Die Punkte A(-2/-1/1) & B(1/1/-1)
Die Seitenfläche von ASC lautet: -15x + 2y + 4z - 32 = 0 und von BSC: -2x -3y + z + 6 = 0
Den Höhenfusspunkt F(-2/1/0) (liegt in der Grundfläche ABC und die Strecke FS liegt senkrecht zu dieser.

Aufgaben:
a) Beweise, dass der Punkt A in ASC liegt, aber nicht in BSC.

A in die Ebenengleichungen einsetzen. Liegt A in der Ebene, kommt 0=0 raus, sonst ein Widerspruch, zB 0 = 7.

b) Bestimme den Punkt S

Geradengleichung für die Höhe h aufstellen und dann mit einer Seitenfläche schneiden.

Den Richtungsvektor v von h bekommst du aus dem Kreuzprodukt von FA und FB.

h : r = 0F + t*v

Jetzt komponentenweise in ASC oder BSC einsetzen → S

c) Bestimme das Volumen der Dreieckspyramide.

Hier kannst du 1/6 des Spatprodukts benutzen, sobald du alle Eckpunkte der Pyramide hast.

Dazu am einfachsten noch die Ebenengleichung einer Ebene durch ABF bestimmen, indem du v von Aufgabe b einsetzt in den Ansatz E : v₁x + v₂y + v₃z + c = 0. F einsetzen um c zu berechnen.

Dann diese mit den beiden gegebenen Ebenen schneiden  --------> Ecke C.

Jetzt 1/6 * Spatprodukt (SA,SB, SC)

Comments

a) ist mir nun klar. habe zu weit gedacht...

 

bei b) habe ich eine Frage: ich bekomme bei dem Kreuzprodukt FAxFB = (2/4/6) (Zahlen übereinander) Stimmt das? Jetzt muss ich die Gerade h aufstellen. Demnach geht diese von F aus und streckt sich anch S weiter? also r = (-2/1/0) +t(2/4/6) (zahlen übereinander) und dann nur noch schneiden und fertig. Dann als Punkt darstellen?

c) Was ist ein Spatprodukt?

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Mathecoach hat n= (2,3,6)

Ein Spatprodukt ist dasselbe wie eine Determinante.

Du kannst auch:1/6 * (SA x SB)* SC berechnen, oder wie Mathecoach 1/6 * (AB x AC) * AS

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Vielen Dank für die Aufklärung. Wie schaut es jetzt aus wenn ich eine Schnittgerade von ASC und BSC erhalten möche?

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ASC lautet: -15x + 2y + 4z - 32 = 0 und von BSC: -2x -3y + z + 6 = 0 

Du brauchst 2 Punkte auf beiden Ebenen. Du kannst 2 Punkte der Grundebenen wählen. Setze z.B. erst mal z=0. → x,y berechnen → P

dann x = 0 → y,z berechnen -----> Q

Jetzt Geradengleichung g: r = 0P + t PQ 

Anm: PQ darfst du übrigens mit dem GGT der Komponenten 'kürzen', nicht aber OP.

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Also ich berechene die Punkte P und Q. MIt OP habe ich den Ortsvektor und mit PQ den richtungsvektor?

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Ja genau. So ist das.

Du könntest natürlich auch die Punkte S und C benutzen. Das führt aber vielleicht auf einen Folgefehler.

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Ok. Wenn du gerade C ansprichst. Wie komme ich auf diesen?... :(

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Jetzt noch die Kante mit der Grundfläche ABF schneiden.