Die sechs Felder des unten stehenden Gitters werden mit den Zahlen 1, 3, 4, 4, 7 und 8 gefüllt. Sei Ω die Menge aller unterschiedlichen (2 x 3)-Matrizen, die auf diese Weise entstehen können. Dabei trete jede Matrix w ∈ Ω mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf.
1. Bestimme Sie die Anzahl der Elemente in Ω.
$$ \frac{6!}{2!} = 360 $$
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten beide Vieren in der gleichen Zeile auf?
Die beiden Vieren können entweder nur in der ersten Zeile oder nur in der zweiten Zeile stehen somit multipliziere ich mal 2.
Weiterhin können die zwei Vieren innerhalb der Zeile an 3 verschiedenen Stellen stehen: (4 4 x) (4 x 4) (x 4 4).
Zuletzt gibt es 4! Möglichkeiten die restlichen Zahlen innerhalb der Matrix zu verteilen.
$$ \frac{2 * \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix} * 4!}{360} = \frac{144}{360} $$
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die obere Zeilensumme kleiner als die untere, wenn die obere Zeile 4 und 8 enthält?
E: Event das die 4 und 8 in der ersten Zeile sind
F: Event das die Zeilensumme 1 kleiner als die Zeilensumme 2 ist
Es gibt 6 verschiedene Anordnung von der 4 und 8 in der ersten Zeile. Für die restlichen Zahlen gibt es 4! Anordnungen.
$$ Pr[E]: \frac{\frac{3!}{(3-2)!} * 4!}{360} = \frac{144}{360} = \frac{2}{5} $$
Es gibt nur eine Kombination wo die Zeilensumme der ersten Zeile kleiner ist als die Zeilensummer der zweiten Zeile wenn die 8 und 4 in der ersten Zeile sind.
Es gibt nun 3! Kombinationen der ersten und zweiten Spalte somit:
$$ Pr[F ∩ E]: \frac{3! * 3!}{360} = \frac{36}{360} $$
$$ Pr[F | E] = \frac{Pr[F ∩ E]}{Pr[E]} = \frac{36}{360} * \frac{360}{144} = \frac{1}{4} $$
