Kombinatorik: 6 Kinder haben gleich viele Freunde

Question

6 Kinder sitzen in einem Zugabteil, während der Fahrt finden sie heraus, dass jeder genau gleich viele Freunde hat. Wie viele Möglichkeiten dafür gibt es?

Meine Überlegungen:

jeder hat 0 Freunde, alle kennen sich nicht --> 1 Möglichkeit

jeder hat 1 Freund, 6*5=30, 30:2=15   --> 15 Möglichkeiten

jeder hat 2 Freunde ?

jeder hat 3 Freunde ?

jeder hat 4 Freunde, jeder kennt also 1 Kind nicht,  --> 15 Möglichkeiten

jeder hat 5 Freunde, alle kennen sich   --> 1 Möglichkeit

 

und in der Mitte komme ich nicht klar....

Comments

Können zwei Personen den gleichen Freund haben (bei einem Freund)?

Wenn ja, gibt es noch mehr Lösungen!

Ach ja, müssen alle Freunde gegenseitig Freunde sein? Oder kann jemand zwei Freunde haben, die nicht mit ihm befreundet sind?

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Mehr Infos habe ich nicht, von gegenseitiger Freundschaft gehe ich mal aus....

Answer 1

Wenn jeder 2 Freunde haben soll gibt es 2 Möglichkeiten.

Einmal haben wir 2 Dreiergruppen die Untereinander befreundet sind.

Dann würde es wohl (6 über 3) = 20 Möglichkeiten geben.

Die andere Möglichkeit ist ein Ringzusammenhang

A ist mit B befreundet B mit C, C mit D, D mit E, E mit F und F mit A

Fangen wir mit A an. A kann also einen von 5 Freunden haben. Nehmen wir an er hat B als Freund. B kann dann mit 4 Personen befreundet sein. Nehmen wir an das ist C. C noch mit 3 weiteren z.B. D. D noch mit 2 weiteren z.B. E und E mit dem letzten F und F wieder mit A. Das wären also 5! Möglichkeiten. Allerdings kann ich diesen Ring auch Rückwärts lesen. A - F - E - D - C - B - A. Daher muss ich noch durch 2 teilen und erhalte 5!/2 = 60.

Ich würde also vermuten es gibt 80 Möglichkeiten jeweils 2 Freunde zu haben.

Aus Symmetriegründen wenn jeder 3 Freunde haben muss kann er auch 2 Nichtfreunde haben, vermute ich ebenfalls 80 Möglichkeiten.

Comments

Danke erstmal,

auf jeden Fall stimme ich überein, dass 2 Freunde haben und 3 Freunde haben gleich viele Möglichkeiten bietet.

Auf 120/2 bin ich auch gekommen, aber mit 6*5*4=120 und das durch 2, es könnte aber auch 5*4*3 direkt sein.

Ich habe eine Musterlösung, die besagt 70. Wie man auf die 70, bzw. auf die fehlenden 10 kommt verstehe ich eben nicht. Eventuell muss man die (6über3) noch halbieren? Sind dann immer 3er-Gruppen gemeint, die sich untereinander nicht kennen?

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Ja. Stimmt. Die (6 über 3) muss man noch halbieren, weil es egal ist ob ich ABC oder DEF als Gruppe wähle. Beides liefert das gleiche Ergebnis.

Ok und dann kommt man auch auf die Musterlösung von 70 Möglichkeiten.