Flächenberechnung mit Flächeninhaltsfunktion von f zur unteren Grenze 0.

Question

Ich rechne gerade ein paar Aufgaben und habe gemerkt, dass ich die Flächenberechnung nicht ganz verstanden habe. Könntet ihr mir bitte anhand dieser beiden Beispiele das Thema Schritt für Schritt erklären?

Flächenberechnungen:

Gesucht ist der Inhalt der markierten Fläche A. Bestimmen Sie zunächst eine Flächeninhaltsfunktion von f zur unteren Grenze 0.

a) \( {f(x)=\frac{1}{4} x^{3}} \)

b) \( f(x)=x^{2}-2 x+2 \)

Beispiele der Flächenberechnung

Beispiel 1: Gesucht ist der Inhalt A der abgebildeten Fliche unter dem Graphen von \( f(x)=\frac{1}{2} x^{2}+1 \) uber dem Intervall \( [0 ; 2] \)

 

\( f(x)=\frac{1}{2} x^{2}+1 \)

\( A_0(x) = \frac{1}{6}x^3 + x \\ A = A_0(2) = 3·\frac{1}{3} \)

Lösung: Es handelt sich hier um den Standardaufgabentyp, bei dem die Fläche bei \( x=0 \) beginnt. Durch Einsetzen in die Flächeninhaltsfunktion zur unteren Grenze 0 ergibt sich als Resultat: \( A=A_{0}(2)=3 \frac{1}{3} \)

Beispiel 2: Bestimmen Sie den Inhalt A der dargestellten Fliche zwischen dem Graphen von \( f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-2 x+3 \) und der \( x \) -Achse über dem Intervall \( [1 ; 3] \).

\( f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-2 x+3 \\ {A_{0}(x)=\frac{1}{6} x^{3}-x^{2}+3 x} \)

Lösung:Die Gleichung der Flächeninhaltsfunktion lautet hier \( \mathrm{A}_{0}(\mathrm{x})=\frac{1}{6} \mathrm{x}^{3}-\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x} \). Die Fläche beginnt leider nicht bei \( 0, \) sodass zunäichst die Flächeninhaltsfunktion \( \mathrm{A}_{0} \) zur unteren Grenze 0 nicht verwendet werden kann. Allerdings hilft uns hier ein kleiner Trick weiter: Wir können nämlich die Fläche über dem Intervall \( [1 ; 3] \) als Differenz zweier Flàchen auffassen, die beide bei der unteren Grenze 0 beginnen, und zwar als Differenz der Fläche über dem Intervall \( [0 ; 3] \) und der Fläche über dem Intervall \( [0 ; 1] \) Deren Flächeninhalte B und C können mithilfe von \( \mathrm{A}_{0} \) bestimmt werden.

\( A=C-B=A_{0}(3)-A_{0}(1)=2 \frac{1}{3} \)

Comments

 Ist b richtig ?

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1a) hast du gut gerechnet.

1b) passt nicht wirklich. Werner hat dir das nun unten erklärt.

Answer 1

Hallo Sally,

Ist b richtig ?

nicht ganz. Du hast richtig gerechnet, \(A_0(1)=4/3\). Die gesuchte Fläche \(A\) ist aber \(A=A_0(2)-A_0(1)\). Warum das so ist, ist auf der Buchseite im unteren Beispiel erklärt. Schau Dir das Bild rechts unten an. Dort ist die Fläche \(A\) die Differenz aus den Flächen \(C\) und \(B\). Das entspricht hier den Flächen \(A_0(2)\) und \(A_0(1)\).

Es fehlt also noch das \(A_0(2)\). $$A_0(2)= \frac13 (2)^3 - (2)^2 + 2\cdot (2) = \frac83$$ Damit ist die Fläche \(A\): $$A= A_0(2)- A_0(1) = \frac83 - \frac43 = \frac43$$

Du hast den Wert \(4/3\) (eine Größe einer Fläche!) in die Ausgangsfunktion \(f(x)\) eingesetzt. Das macht keinen Sinn.

Answer 2

Du suchst das Intervall einer Funktion, dessen Fläche du berechnen möchtest. Das kannst du einfach dem Graphen entnehmen, das ist bei der a) \([0;2]\) und bei der b) \([1;2]\).

Für  ein kompaktes Intervall \([a;b]\) gilt:$$\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]^b_a=F(b)-F(a)$$ Hierbei ist \(F(x)\) die Stammfunktion einer Funktion \(f\). Weißt du überhaupt wie man eine solche Stammfunktion \(F(x)\) bildet? Wenn nicht, dann melde dich noch mal, ich setze das hier voraus. Hier wäre das für die a):$$\int_{0}^{2}\frac{1}{4}x^3dx=\bigg [\frac{1}{16}x^4 \bigg ]^2_0=F(2)-F(0)=1$$

Comments

Vielen dank für die Antwort, aber wir haben das nie so aufgeschrieben und den Weg verstehe ich auch nicht ganz.

Wir haben dann halt Ao f(x)=... geschrieben

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$$f(x)=\frac{1}{4}x^3$$$$A_{0}(x)=\frac{1}{16}x^4$$$$A_{0}(2)=1$$

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Dankeschön

Wie kommst du auf die 16 und hoch 4?und wieso wurde 2 eingesetzt? Könntest du mir kurz die Schritte erläutern?

Wie funktioniert die b?:)

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Die Regel für die Stammfunktion von Potenzfunktionen ist:$$f(x) = ax^n$$$$F(x) =a\cdot  \frac{1}{1+n} x^{n+1} + C$$ Wobei die Integrationskonstante \(C\) hier noch nicht so wichtig ist. Kannst du es so schon herleiten?

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Nein leider nicht :/

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Das ist pures Einsetzen. Guck mal:$$f(x)=\frac{1}{4}x^3 → f(x)=ax^n$$ Was ist denn hier \(a\) und was \(n\) - das kann man einfach nur ablesen...

Wenn du wirklich ins Thema einsteigen willst, dann guck mal hier:

https://www.mathebibel.de/stammfunktion

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Vielen Dank nochmal

Wie funktioniert eigentlich die b?

Das würde mich nämlich am meisten interessieren

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Ich würde es bevorzugen, wenn du es erst versuchst.

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Vielleicht bei b

1/3 * x^3 -2 ?

Answer 3

Allgemein : Aufleiten einer Potenzfunktion
x^a = x ^{a+1} / ( a+1)

b.)
f ( x ) = x^2 - 2*x + 2
S ( x ) = x^3 / 3 * - x^2 + 2x
Fläche = Stammfunktion ( obere Grenze ) minus
Stammfunktion ( untere Grenze )

[ x^3 / 3  - x^2 + 2x ] zwischen 1 und 2
2^3 / 3  - 2^2 + 2*2 - ( 1^3 / 3 * - 1^2 + 2*1)
8/3 - 4/3
4 / 3

Bei Bedarf nachfragen bis alles klar ist.