Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion und Berechnung der Maßzahl

Question

Bestimme für die gegebene Randfunktion die Flächeninhaltsfunktion und berechne dann

die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen der gegebenen Randfunktion und

der Abzissenachse über dem angegebenen Intervall.

 

Aufgabe a) f(x)= −1,5 x + 4 [0;0,075]

                b) f(x)= 1/2x² + 4x [0;1,5]

 

möglicher Lösungsansatz/-weg:

a) F(x)= 1,5/2x² + 1 = 2,578          x= 0,075

b) F(x)= 1/6x³ + x = 2,06                x= 1,50

 

Ist mein Lösungsansatz/-weg und die beiden Ergebnisse von Aufgabe a) und b) richtig ?!

Comments

Meiner Meinung nach ist die Aufgabe wie folgt zu verstehen

Aufgabe

a) f ( x ) = −1,5 x + 4 
Stammfunktion
F ( x ) = - 1.5 / 2 * x^2 + 4 * x
Fläche berechnen
F ( 0.075 ) - F ( 0 )

b)  f ( x ) = 1/2x² + 4x
Stammfunktion
F ( x ) = 1 / 6 * x^3 + 4 * x^2 / 2
Fläche berechnen
F ( 1.5 ) - F ( 0 )

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

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Das ist doch völlig richtig. Schreib das doch das nächste mal gleich als Lösung. Ich finde es nervig wenn beantwortete Fragen dann noch offen sind.

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Wenn ich das dann richtig verstanden habe, muss der letzte Schritt,

der auch zur Lösung führt, wie folgt lauten:

a) [4x - 0.75x²]^0,075  − [4x - 0.75x²]₀ 

b)  [x³/6 + 2·x² ]^1,5 − [x³/6 + 2x²]₀

 

_{Ich weiß, dass dies nicht ganz die korrekte Schreibweise ist, aber anders kann}

_{dies auch nicht hier aufgeführt, aber dafür umso besser beide Intervalle verdeutlicht werden.}

==> Für beide Aufgeben gilt: I₁ − I₂ = I_gesamt

Ist das so richtig ?!

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hallo Ahnungsloser,

deine  Frage war etwas " wirr " gestellt, deshalb habe ich zunächst
auch nochmals nachgefragt.
Die zu berechnenden Werte hast du schön aufgestellt
a) [4x - 0.75x²]^0,075  − [4x - 0.75x²]₀
b)  [x³/6 + 2·x² ]^1,5 − [x³/6 + 2x²]₀
Damit ist die Aufgabe beendet.

Es soll ja nur die Fläche zwischen der Funktion und der
x-Achse berechnet werden.

Die beiden erhaltenen Flächen sollen nicht mehr miteinander
verknüpft werden.
Oben rechts auf dieser Seite findest du einen Funktionsplotter.
Damit kannst du dir die beiden Funktionen einmal zeichnen
lassen.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

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Das war schon sehr hilfreich, jedoch habe ich noch Verständnis-Fragen:

a) [4x - 0,75x²]^0,075  
b)  [x³/6 + 2·x² ]^1,5 

Also sind jeweils nur bei beiden Funktionen, die beiden oben genannten 

Intervalle zur Berechnung von Aufgabe a) und b)  relevant ?

 

1. F(x) = Flächeninhaltsfunktion (Stammfunktion)

2. F(x) = Randfunktion (Ergebnis, als solches, das aus dem Intervall hervorgeht)

 

Sind die Feststellungen meinerseits korrekt ?!

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Den Begriff " Randfunktion " kenne ich so nicht.

Ich kann mir mittlerweile aber denken was damit gemeint ist :
Die Funktion bildet einen Rand einer Fläche.

Die Integralfläche wird gebildet durch
  - die x-Achse ( unten )
  - die Linie x = 0 ( dies ist die y-Achse,senkrecht )
  - die Linie x = 1.5 ( senkrecht ) und als
  - 4.Seite die Funktion ( Kurve )

Dies sind die 4 Seiten der Fläche.

Flächenberechnung :
1.Stammfunktion bilden : F ( x )
Integralfunktion ist : F ( Intervallende ) - F ( Intervallanfang )

Hier : F ( 1.5 ) - F ( 0 )
Nun ist es in diesem Beispiel so dass F ( 0 ) den Wert 0 ergibt.
Also ist die Lösung F ( 1.5 )

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

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Okay, soweit alles relativ nachvollziehbar.
Dem ganzen kann ich entnehmen, dass die Flächeninhaltsfunktion

der von f(x) gebildeten Stammfunktion F(x) entspricht.

Die Maßzahl ist das daraus resultierende Ergebnis; Beispiel von Aufgabe b): F(x) = 5,0625.
Und stimmt meine Vermutung ?! :)

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F ( x ) = 5,0625. ist falsch, sondern F ( 1.5 ) = 5.0625
F ( x ) = 1 / 6 * x³ + 4 * x² / 2
für x = 1.5 ergibt sich
F ( 1.5 ) = 1 / 6 * (1.5)³ + 4 * (1.5)² / 2
F ( 1.5 ) = 0.5625 + 4.5
F ( 1.5 ) = 5.0625

Beim Integrieren muß man u.a. auch darauf achten ob der Graph
die Nullinie y = 0 im Integrationsintervall schneidet. Es gibt dann
positive Flächen und Abzugsflächen. Dies ist bei deinen
Funktionen nicht der Fall. Es könnte auch noch Polstellen geben.

mfg Georg

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Gut, dann wäre alles geklärt.

Vielen Dank für die ausführliche Hilfestellung. :)

Answer 1

a) f(x) = -1,5 x + 4 [0;0,075]

f(x) = -1.5x+4
F(x) = 4·x - 0.75·x^2

F(0.075) - F(0) = 0.29578125

 

b) f(x)= 1/2x² + 4x [0;1,5]

f(x) = 0.5x^2 + 4x
F(x) = x^3/6 + 2·x^2

F(1.5) - F(0) = 5.0625

Dabei ist darauf zu achten das nicht über Nullstellen einfach hinweg integriert wird.

Comments

Wenn ich das dann richtig verstanden habe, muss der letzte Schritt,

der auch zur Lösung führt, wie folgt lauten:

a) [4x - 0.75x²]^0,075  − [4x - 0.75x²]₀ 

b)  [x³/6 + 2·x² ]^1,5 − [x³/6 + 2x²]₀

 

_{Ich weiß, dass dies nicht ganz die korrekte Schreibweise ist, aber anders kann}

_{dies auch nicht hier aufgeführt, aber dafür umso besser beide Intervalle verdeutlicht werden.}

==> Für beide Aufgeben gilt: I₁ − I₂ = I_gesamt

Ist das so richtig ?!

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Ja. Ich bevorzuge daher die Schreibweise

∫ (a bis b) f(x) dx = F(b) - F(a)

Daher bilde ich wie du oben siehst immer nur die Differenzen von Funktionswerten der Stammfunktion F(x)

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@mathecoach
Der Fragesteller hatte die Frage etwas " wirr " formuliert und
auch schon orginelle Lösungen angeboten. Deshalb habe
ich zunächst nochmals nachgefragt.

mfg Georg