Vollst. Induktion zu Produktzeichen \prod^n_{i=2} (1-\frac{1}{i^2})=\frac{n+1}{2n} \quad n\geq 2

Question

Ich bin's nochmal. (mit LaTeX geschrieben, weil es sonst sehr unübersichtlich wäre.) Wollte gerade eine Induktion für folgende Aufgabe lösen, bin aber beim Induktionsschritt hängengeblieben:

$$\prod^n_{i=2} \left(1-\frac{1}{i^2}\right)=\frac{n+1}{2n} ,\quad n\geq 2$$

Induktionsanfang: \(n=2: \displaystyle\prod^2_{i=2} \left(1-\frac{1}{2^2}\right)=\frac{2+1}{2\cdot 2} \iff 0,75=0,75\) w.A.
Induktionsvoraussetzung: \(\exists n \in \mathbb{N}\) beliebig aber fest mit \(\displaystyle \prod^n_{i=2} \left(1-\frac{1}{i^2}\right)=\frac{n+1}{2n} \)
Induktionsschritt: \( n \to n+1\):

Zz.: \(\displaystyle \prod^{n+1}_{i=2} \left(1-\frac{1}{i^2}\right)=\frac{n+2}{2n+2} \)

$$\begin{aligned} \prod^{n+1}_{i=2} \left(1-\frac{1}{i^2}\right)&= \prod^{n}_{i=2} \left(1-\frac{1}{i^2}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)\\ &\stackrel{IV}{=} \frac{n+1}{2n} \cdot \left(1-\frac{1}{n+1^2}\right)\\ &= \frac{n+1}{2n} - \frac{n+1}{2n\cdot (n+1)^2}\\ &= \frac{n+1}{2n} - \frac{1}{2n\cdot (n+1)}\\ &\phantom{ x=y }\vdots &&\text{ Wie mache ich die Umformung weiter, damit ich dann auf}\\ &= \frac{n+2}{2n+2}&&\text{ komme?}\end{aligned}$$

MfG

Doesbaddel

Answer 1

$$= \frac{n+1}{2n} - \frac{1}{2n\cdot (n+1)}\\\frac{(n+1)\cdot (n+1)}{2n\cdot(n+1)}-\frac{1}{2n\cdot (n+1)}\\\frac{(n+1)\cdot(n+1)-1}{2n\cdot(n+1)}\\\frac{n^2+2n+1-1}{2n\cdot(n+1)}\\\frac{n^2+2n}{2n\cdot(n+1)}\\\frac{n+2}{2\cdot(n+1)}\\\frac{n+2}{2n+2)}$$

Gruß

Smitty

Comments

Ach stimmt, total vergessen, dass man ja auch erweitern kann. Danke dir!