Fläche des Mittendreiecks bestimmen? Wie geht das?

Question

Gegeben:

A(5|0|3), B(7|8|1) und C(-3|2|5)

Berechnet werden sollte nun die Fläche des Dreiecks und die des Mittendreiecks. Die Fläche des Dreiecks habe ich mithilfe des Kreuzproduktes bestimmt und kam auf etwa 36FE. Wie bestimme ich die Fläche des Mittendreiecks. Könntet Ihr mir das irgendwie behilflich sein?

Danke für Eure Anregungen! :)

Answer 1

[Eine Idee]

Suche die Mittelpunkte der Punkte \(A(5|0|3) \quad B(7|8|1)\quad  C(-3|2|5)\) Ich erhalte:$$M_{AB}=(6;4;2) \quad M_{BC}(2;5;3) \quad M_{AC}=(1;1;4)$$ Das sind die Koordianten des Mittendreiecks. Dann normal Flächeninhalt berechnen.

Comments

vielen Dank! So werde ich es machen.

Für MAB, wäre es nicht: (6;4;2)? Die y-Koordinate müsste doch positiv sein, oder?

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Ja, das habe ich vor genau einer Minute auch bemerkt. Im zweidimensionalen Bereich sieht das so aus:

https://www.desmos.com/calculator/vxofljwanz

Beachte aber, dass mir das logisch erscheint (Ich habe aber keine 100%ige Kredibilität, was solche Sachen angeht)

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Mittels Geoknecht 3D:

Dreieck:
a = 12,329; b = 8,485; c = 8,485
va = (2|8|-2); vb = (-8|2|2); vc = (10|6|-4);
A = 35,944

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Das Mittendreieck hat nach Geoknecht 3D einen Flächeninhalt von \(A = 8.986\). Das mit dem Mittendreieck (GRÜN) ist wohl richtig, siehe die Skizze:

Klicke hier, um die Skizze zu sehen!

EDIT:

Deine andere Lösung ist gerundet richtig. (vgl. Mathelounge)

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Vielen Dank für die nette Hilfe!! Ich habe es nun verstanden :)

Ist der Schwerpunkt des Mitteldreieckes: (6|1,333|-2)? Das habe ich mithilfe der Formel rausbekommen.

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x_{s}=1/3(6+2+1)=3

y_{s}=1/3(4+5+1)=10/3

z_{s}=1/3(2+3+4)=3

(3,10/3,3) ist der Flächenschwerpunkt des Dreiecks.

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Genau :) Das hatte ich auch. Aber für den Schwerpunkt des Mittendreiecks hatte ich (6/1,333/-2). Ist das auch richtig?

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Nein,

(3,10/3,3)

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DIe Koordinaten des Mittendreiecks entsprechen doch:

(4/-1/-1), (9/2/-3) und (5/3/-2)

Das nun: 1/3*((4/-1/-1), + (9/2/-3) + (5/3/-2)) ergibt (6/1,33/-2)

Wo habe ich mich verrechnet?

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Es muss so gerechnet werden:$$M=\left(\frac{1}{3}(x_1+x_2+x_3);\frac{1}{3}(y_1+y_2+y_3) ;\frac{1}{3}(z_1+z_2+z_3)\right)$$

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Genau, und dabei erhalte ich dann (6/1,333/-2). Das ist richtig, oder?

Danke für die Hilfe!

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$$M=\left(\frac{1}{3}(6+2+1);\frac{1}{3}(4+5+1) ;\frac{1}{3}(1+1+4)\right)$$ Ein Punkt hat die Form \((x|y|z)\) und nicht \((x_1|x_2|x_3)\).