Punkt C so, dass Dreieck Flächeninhalt √63/2 hat. A,B gegeben.R^3

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie einen Punkt C = (c1, c2, c3) ∈ R3 mit c1 > 0 auf der Geraden g so,
dass das Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C den Flächeninhalt  \( \frac{√63}{2} \) hat.

Problem/Ansatz:

Im nächsten Schritt muss ich einen Punkt C = (c1, c2, c3)T ∈ R3 mit c1 > 0 auf der Geraden g so bestimmen, dass das Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C den Flächeninhalt \( \frac{√63}{2} \)  hat.


Die Gerade g geht durch den Ursprung und ist senkrecht zur Ebene E

Ebene E \( \frac{2}{√6} \)x1+\( \frac{-1}{√6} \)x2+\( \frac{-1}{√6} \)x3=0 aus A(1,1,1) B(0,-1,1), Ursprung

EbeneF  \( \frac{2}{√14} \)x1+\( \frac{-1}{√14} \)x2+\( \frac{3}{√14} \)x3=\( \frac{4}{√14} \)  aus A(1,1,1) B(0,-1,1) D(4,-2,-2)

Der Satz soll mir helfen:

|axb|=|a| |b| sin(<Winkel)(a,b)

Hier soll das Kreuzprodukt eine Rolle spielen, das ein Parallelogramm erzeugt. Das Dreieck wär natürlich dann die Hälfte. Ich bin mit diesem Tipp trotz verschiedenen Ansätzen nicht voran gekommen. Wie genau geht man da vor?

Comments

Ansatz:

Es muss gelten: \( \frac{1}{2} \)|ABxAC|=\( \sqrt{\frac{63}{2}} \)

Die Geradengleichung ergibt sich durch den Ursprung durch den die Gerade geht und den Normalvektor von E, weil die Gerade senkrecht dazu ist.

g:(x1,x2,x3)=(0,0,0)+µ(2,-1,-1)

Der Punt C, der in g liegen soll, muss ja ein vielfaches vom Richtungsvektor sein. So ergibt sich:

C:(2µ,-µ,-µ)

AB=(-1,-2,0),

AC= (2µ,-µ,-µ)-(1,1,1) = (2µ-1,-µ-1,-µ-1)

Daraus das Kreuzprodukt:

\( \begin{pmatrix} -1\\-2\\0 \end{pmatrix} \) x\( \begin{pmatrix} 2µ-1\\-µ-1\\-µ-1 \end{pmatrix} \) = -2(-µ-1)-0(-µ-1),  0(2µ-1)-(-1)(-µ-1),   -1(-µ-1)-2(2µ-1) =\( \begin{pmatrix} 2µ+2\\-µ-1\\-µ-1 \end{pmatrix} \)

Daraus den Betrag: |\( \begin{pmatrix} 2µ+2\\-µ-1\\-µ-1 \end{pmatrix} \)|= \( \sqrt{(2µ+2)^2+(-µ-1)^2+(-3µ+3)^2} \)

Mit Binomische Formel:

(2µ+2)² = 4µ²+8µ+4      (-µ-1)² = -µ²-2µ+1   (-3µ+3)²= 9µ²-18µ+9

--> 4µ²+8µ+4-µ²-2µ+1+9µ²-18µ+9 = 12µ²-12µ+14 --> \( \sqrt{12µ^2-12µ+14} \)

Diese Gleichung lösen:

\( \sqrt{\frac{63}{2}} \) = \( \frac{1}{2} \)*\( \sqrt{12µ^2-12µ+14} \)

--> 2* \( \sqrt{\frac{63}{2}} \) = \( \sqrt{12µ^2-12µ+14} \) /^2

12µ²-12µ+14             = \( \frac{4*63}{2} \) =126  /-14

12µ²-12µ                    =126-14=112                 /+12µ

12µ²                         =  112+12µ                /µ

12µ                              =112+12 = 124     /12

µ                                = \( \frac{124}{12} \)

Das Problem:

Es muss µ=2 sein. Was hab ich falsch gemacht.??? (Am besten noch vor Mo.01:00Uhr ;) )

Answer 1

Hallo Hallo,

Bei der Berechnung des Kreuzprodukts ist Dir ein Fehler unterlaufen. Richtig ist $$\begin{aligned}\dots &= \begin{pmatrix}-1\\ -2\\ 0\end{pmatrix} \times \left( \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -1\end{pmatrix} \mu \right) \\ &= \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 5\end{pmatrix} \mu\end{aligned}$$D.h. statt \((-\mu \dots \) in der dritten Koordinate muss dort \(( 5\mu \dots \) stehen.

So sieht das in 3D aus:

Es ist übrigens einfacher, das \(\mu\) nicht mit in die Koordinaten mit hinein zu schreiben. Also besser so $$\begin{aligned} \left| \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 5\end{pmatrix} \mu \right| &= 2 F_{\triangle} &&\left|\, {}^2 \right. \\ \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -1\end{pmatrix}^2 + 2\mu \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ -1\\ 5\end{pmatrix}^2 \mu^2 &= 4 \cdot \frac{63}{2} \\ 6 + 0 \mu + 30\mu^2 &= 126 \\ \implies \mu &= \pm2 \end{aligned}$$

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Vielen Dank! Super Antwort, hat mich sehr gefreut:)

Answer 2

Was hab ich falsch gemacht.???

Du kannst keine quadratischen Gleichungen lösen. Wenn du auf
12µ²      =  112+12µ    den (sinnlosen) Rechenbefehl   |:µ
anwendest, erhältst du in Wirklichkeit
12µ      =  \( \frac{112}{µ} \) +12, was dir gar nichts nutzt.

Schon mal was von abc-Formel oder pq-Formel gehört?

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Danke für den Hinweis!:)