Geschlossene Form der Summe \(\sum\limits_{n=1}^{\infty } 2x^{n}\)

Question

wie kann ich diese Summe auschreiben bzw. in die geschlossene Form bringen?

\(\sum\limits_{n=1}^{\infty } 2x^{n} = \sum\limits_{n=0}^{n} 2x^{n} - 1\)

in der lösung steht folgendes:

\(\frac{1}{1-2x} = \frac{2x}{1-2x}\)

wie komme ich genau auf diese Lösung? (wie man die ergebnisse umschreibt verstehe ich)

Ich weiß nur nicht wie ich die Summe ausschreibe bzw. verschwinden lasse...

mfg

Comments

Bekanntlich gilt laut geometrischer Reihe 1/(1-q)=∑_n=0,...,∞qⁿ=1+∑_n=1,...,∞qⁿ, also ∑_n=1,...,∞qⁿ=1/(1-q)-1=q/(1-q). Setze nun q=2x.

Answer 1

Summe (n=1 bis unendlich) 2x^n

=2x*Summe (n=1 bis unendlich) x^{n-1}

=2x*Summe (n=0 bis unendlich) x^n

=2x/(1-x)

Die Summe bekommst du mit der geometrischen Summenformel weg:

https://mathepedia.de/Geometrische_Reihe.html

Comments

hallo

bei n=0 kommt am ende noch -1 dazu.. wie baue ich das ein?

es kann sein, dass meine "musterlösung" faslch ist abr ich dachte da kommt: \(\frac{2x}{1-2x}\) raus?

mfg

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Lautet es (2x)^n oder 2(x)^n unter Summe? ich bin von letzterem ausgegangen.

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ah ok, hier war wohl der fehler... sry klammer vergessen: (2x)^n :)

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und \(\frac{1}{1-2x}\) stimmt auch nicht ganz... müsste \(\frac{1}{1-2x}-1\) sein. aber die umgeformte Form stimmt.

mfg

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na dann ändert sich oben folgendes:

=2x*Summe (n=0 bis unendlich) (2x)^n

=2x/(1-2x)

Das ist dasselbe wie 1/(1-2x)-1

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ah ok jetzt ists mir klar...  die formel habe ich par zeile drüber stehen xD ist mir aber nicht eingefallen.... weil dachte, man benutzt das nur für grenzwerte aber man kann das ja auch so aufschreiben... die geometrische reihe ist ja \(\sum\limits_{n=0}^{\infty } q^n = \frac{1}{1-q}\) und -1 bleibt. da das ja auch als \(\sum\limits_{n=0}^{\infty } q^n + \sum\limits_{n=0}^{\infty } -1\) geschrieben werden kann und das ist eben geom. reihe -1?

mfg