Jordan Normalform und Basis bestimmen

Question

Ich habe die Matrix ((3, 0, 8, 2),(3, -1, 6, 0),( -2, 0, -5, 0),(0, 0, 0, -1)) und soll davon die Jordan Normalform bestimmen. Das charakteristische Polynom lautet

p(X)=(x+1)⁴ also ist -1 vierfache Nullstelle.

Es ist Kern(A+E)=⟨(-2, 0, 1, 0),(0,1,0,0)⟩, Kern(A+E)²=⟨e1,e2,e3⟩ und Kern(A+E)³=⟨e1,e2,e3,e4⟩ wobei en immer die Einheitsvektoren darstellen. Um eine Basis zu bestimmen habe ich den Vektor v1=e4 gewählt und (A+E)*v1=(2,0,0,0) und (A+E)²*v1=(8,6,-4,0). Damit habe ich für die Basis schon drei Vektoren und zwar e4, (2,0,0,0), (8,6,-4,0).

Jetzt bin ich mir unsicher bzügl. des Weiteren Vorgehens:

1. Da ich jetzt nur noch einen Vektor brauche, kann ich dann direkt einen vom Kern(A+E) wählen?Also z.B. (-2, 0, 1, 0) oder (0,1,0,0) und muss diesen Vektor dann nicht mehr mit einer Matrix multiplizierren, weil ich bereits drei Vektoren habe?

2. Oder wähle ich einen aus Kern(A+E)² also z.B. V2=(0,0,1,0) und berechne dann wieder (A+E)*v2=(8,6,-4,0) wobei dieser Vektor ja schon in der oben dargestellen Basis enthalten ist. So hätte ich dann die Basis bestehend aus den Vektoren e4, (2,0,0,0), (8,6,-4,0), v2.

Welches Vorgehen wird gewählt und wieso?

Answer 1

Du musst ja rückwärts vorgehen , also dein v1 ist eigentlich v4

etc. Und für den ersten kannst du - wie deine 1. Idee ist -

-2
0
1
0

nehmen.

Dann sind die Basisvektoren in die Matrix geschrieben   T=

-2    8   2     0
0    6    0      0
1    -4   0      0
0    0    0      1

Comments

Ich habe die gleiche Aufgabe. Wenn ich das jetzt richtig verstehe, dann kann ich, da ich schon drei Vektoren habe, einfach einen aus dem Kern (A+E)  nehmen, der linear unabhängig ist. In dieser Aufgabe muss ich dann die Vektoren aus Kern(A+E)² gar nicht weiter betrachten oder?

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Die Vektoren aus Kern(A+E)² spielen also nur eine Rolle, wenn ich eine größere 5x5 Matrix habe und insgesamt fünf Vektoren brauche oder?

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Weil wenn ich einen Vektor aus dem Kern(A+E)²  wähle dann erhalte ich nur Vektoren die ich bereits schon habe. 

Deshalb wählt man den Vektor aus Kern(A+E)

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Wenn du einen aus Kern(A+E) wählst, hast du in der

entsprechende Spalte der Matrix jedenfalls nur

den Eigenwert und sonst alles 0en.