Es sei R= ((x,y) I x mal y >0). Zeigen, dass R eine Äquivalenzrelation auf Z \ (0)

Question

ich benötige Hilfe!!!


a) Es sei R= ((x,y) I · mal y >0). Zeigen, dass R eine Äquivalenzrelation auf Z \ (0), aber nicht au Z ist. Geben Sie die Äquivalenzklassen explizit an. Nach welcher Eigenschaft werden die Elemente von Z\ (0) klassifiziert?

b) Wie sind hier jeweils die natürlichen Zahlen von 1 bis 12 sortiert worden, d.h. welche Äquivalenzrelation auf der Menge (1,2,3,...,12) liefert folgende Äquivalenzklassen:

- (1,5,9), (3,7,11) ,2,6,10), (4,8,12)

- (1), (2,3,4,5,7,8,9,11), (6,10,12)

- (11), (1,2,3,4,8,9,10), (5,6), (7,12)

Answer 1

die durch die Äquivalenzrelation R implizierten Äquivalenzklassen sind "positives Vorzeichen" und "negatives Vorzeichen". Lebt R auf ganz \( \mathbb{Z} \) also inklusive der 0, so ist R keine Äquivalenzrelation mehr, da für die 0 die Eigenschaft der Reflexivität verletzt ist: \( (0, 0) \not\in R \).

Das erste Beispiel entspricht der Äquivalenzrelation \( R \equiv \{ (x, y): x \mod 4 = y \mod 4 \} \), das heißt x und y hinterlassen bei Division durch 4 den gleichen Rest, sofern sie äquivalent sind, sprich zur selben Äquivalenzklasse gehören.

MfG

Mister

Answer 2

(a)  Zu zeigen sind Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
(i)   Es gilt  x·x > 0  für alle  x ∈ ℤ\{0}, also  x ≡ y  (x  ist äquivalent zu  y).
(ii)  Es gelte  x ≡ y, also  x·y > 0. Es ist  y·x = x·y > 0, also  y ≡ x.
(iii)  Es gelte  x ≡ y  sowie  y ≡ z, also  x·y > 0  sowie  y·x > 0.
       Dann ist  x·(y·y)·z = (x·y)·(y·z) > 0  und wegen  y·y > 0  auch  x·z > 0,d.h  x ≡ z.
Alle positiven ganzen Zahlen sind äquivalent zu  1. Alle negativen ganzen Zahlen sind  äquivalent zu  -1.
Es gibt also zwei Äquivalenzklassen: Die positiven ganzen Zahlen, sowie die negativen ganzen Zahlen.
R  ist keine Äquivalenzrelation auf ganz  ℤ, da die Reflexivität nicht gilt.
Z.B. gilt nicht  0 Ξ 0, da sonst  0·0 > 0  sein müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist.

(b)
(i)  Dies sind wohl die Restklassen modulo  4, d.h. alle Zahlen einer Äquivalenzklasse lassen bei Division durch  4  den gleichen Rest, nämlich  0,1,2, bzw. 3.
(ii)  Eine Äquivalenzklasse enthält alle Zahlen, die die gleiche Anzahl an Primteilern aufweisen, nämlich  0,1, bzw. 2.

Comments

Aber 4 hat zwei Primteiler.

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Welche denn? 4 = 2·2.

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@Mister: Die natürliche Zahl  4  hat genau drei Teiler, nämlich  1,2  und  4. Davon ist genau einer ein Primteiler, nämlich die  2. Welchen zweiten Primteiler soll die  4  denn haben?

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Äh, ja der Primteiler 2 hat die Vielfachheit 2.

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Was soll denn bei b iii gemacht werden?Ich erkenne da irgendwie kein Muster.Und wie kann ich die Ansätze von b ii nutzen?