es geht um folgende Äquivalenzaussage, die hier gezeigt wird:
$$ \text{Es sei }n\in \mathbb{N}\setminus{\{0\}} \text{, und es seien }a,b\in \mathbb{Z}.\text{ Dann sind äquivalent:}\\(i)\quad \text{Es gilt }r(a;n)=r(b;n)\\(ii)\quad n\text{ teilt }a-b. $$
Bei der Hin-Richtung "(i)=>(ii)" hatte ich keine Probleme, jedoch bereitet mir die aufgezeigte Rückrichtung ab einer gewissen Stelle Kopfzerbrechen.
Beweis (nicht meiner).
$$ \text{Ist }n\text{ Teiler von }a-b,\text{ so ist }n\text{ auch Teiler der ganzen Zahl }\\(a-b)+(k(b;n)-k(a;n))\cdot n=(a-k(a;n)\cdot n)-(b-k(b;n)\cdot n)=r(a;n)-r(b;n) $$
Jetzt kommt der Teil, bei dem es stockt:
$$ \text{Wegen }-n<r(a;n)-r(b;n)<n \text{ folgt } r(a;n)-r(b;n)=0, \text{ also auch }r(a;n)=r(b;n). $$
Wo kommt diese Ungleichung her und warum kann man damit die Gleichheit beider Reste schlussfolgern?