Division mit Rest n ist Teiler von a-b

Question

es geht um folgende Äquivalenzaussage, die hier gezeigt wird:

$$ \text{Es sei }n\in \mathbb{N}\setminus{\{0\}} \text{, und es seien }a,b\in \mathbb{Z}.\text{ Dann sind äquivalent:}\\(i)\quad \text{Es gilt }r(a;n)=r(b;n)\\(ii)\quad n\text{ teilt }a-b. $$

Bei der Hin-Richtung "(i)=>(ii)" hatte ich keine Probleme, jedoch bereitet mir die aufgezeigte Rückrichtung ab einer gewissen Stelle Kopfzerbrechen.

Beweis (nicht meiner).

$$ \text{Ist }n\text{ Teiler von }a-b,\text{ so ist }n\text{ auch Teiler der ganzen Zahl }\\(a-b)+(k(b;n)-k(a;n))\cdot n=(a-k(a;n)\cdot n)-(b-k(b;n)\cdot n)=r(a;n)-r(b;n) $$

Jetzt kommt der Teil, bei dem es stockt:

$$ \text{Wegen }-n<r(a;n)-r(b;n)<n \text{ folgt } r(a;n)-r(b;n)=0, \text{ also auch }r(a;n)=r(b;n). $$

Wo kommt diese Ungleichung her und warum kann man damit die Gleichheit beider Reste schlussfolgern?

Comments

Wie genau ist r(a,n) zu verstehen?

Vielleicht

a : x = y Rest n , mit x und y Element No 

oder was?

Ich würde das explizit umschreiben und dann "einfach" rechnen.

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Oh, das habe ich vergessen zu erwähnen. Es ist der Ausdruck für:

$$ r(a;n):=a-k\cdot n, $$

also der Rest für die ganze Zahl

$$ a=k\cdot n+r, \text{  mit  } \qquad k:=max(l\in \mathbb{Z}:l\cdot n\leq a), \qquad 0\leq r <n. $$

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Ok, nach längerem Grübeln hätte ich das hier mal so als Vorschlag...

$$ \text{Weil }n\text{ ein Teiler von }a-b\text{ ist, existiert eine ganze Zahl }\\w\text{, sodass die Gleichung }a-b=n\cdot w\text{ erfüllt ist.}\\ \text{Per Definition ist außerdem }0\leq r(a;n)-r(b;n)<n\\ \Leftrightarrow 0\leq n\cdot w <n \stackrel{n\geq 1}{\Leftrightarrow} 0\leq w<1\\ \text{Die Lösungsmenge davon ist } \mathbb{L}:=\{w\in \mathbb{Z}:0\leq w <1\}=\{0\}.\\\text{Also ist }r(a;n)-r(b;n)=0\Leftrightarrow r(a;n)=r(b;n). $$

Answer 1

Im Satz davor steht doch:

n ist Teiler von r(a;n) - r(b;n) .

Außerdem wird gezeigt  -n < r(a;n) - r(b;n) < n .

In Worten:  r(a;n) - r(b;n)  liegt echt zwischen -n und n.

Zwischen denen liegen aber alles nur Zahlen, deren

Betrag kleiner n ist. Und die einzige Zahl, die durch n

teilbar ist und einen Betrag kleiner n hat, ist 0.

Also r(a;n) - r(b;n)  = 0.

Comments

Ich kapiere aber nicht, wie man in dem Beweis auf diese Ungleichung kommt...

-n<r(a;n)-r(b;n)<n

Woher kommt die?

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r(a;n) und r(b;n) sind beides Reste, die bei der Division durch

n entstehen, sie können also beide jeweils nur einen

Wert haben der im Bereich {0; …. ; n-1 }

liegt. Das sind n aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.

 Und zwei Werte aus diesem Bereich haben also einen

Unterschied von weniger als n. Weil man nicht weiß,

 welcher von beiden der größere ist, liegt also die

Differenz zwischen -n und n.

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Ok, das klingt plausibel. Ich habe mich dennoch an die dazu angebene Bedingung 0≤r<n orientiert und bin dann so zum Schluss gekommen, dass 0 die einzige Lösung sein muss (siehe Oben).