Binomialverteilung Schrauben

Question

Ich übe in Vorbereitung auf eine Klausur mit einem Mathebuch, welches nur teilweise Lösungen enthält, dabei bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, die ich nicht lösen kann...vielleicht kann mir hier jemand helfen:

Eine Firma stellt Schrauben her, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% fehlerfrei sind. Am Tag werden 1500 Schrauben produziert. In welchem Intervall liegt die Anzahl X der fehlerfreien Schrauben an einem Tag bei einer Wahrscheinlichkeit von 95%?

Ich habe jetzt erstmal den Erwartungswert E=1425 berechnet und bin jetzt etwas ratlos, wie es weitergeht... Hat jemand Lösungsansätze für mich?

Comments

Sigma-Regeln nachschlagen?

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OK für den Erwartungswert habe ich jetzt 1350 raus und als Ergebnis das Intervall [1331;1500] - ist das korrekt?

Answer 1

Ich habe jetzt erstmal den Erwartungswert E=1425

Ich hab das was anderes raus.

ratlos, wie es weitergeht

Berechne auch noch die Standardabweichung σ.

Laut Sigma-Regeln liegen 95% der Werte bei Binomialverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ im Intervall zwischen μ - 1,96σ und μ + 1,96σ.

Comments

OK ich habe das nochmal gerechnet und habe jetzt für E=1350 und Standardabweichung 11,61895 jetzt würde ich als Intervall I[1331;1500] angeben - stimmt das so?

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E=1350 und Standardabweichung 11,61895

Stimmt so.

jetzt würde ich als Intervall I[1331;1500] angeben

Irgendwo hast du dich verrechnet.

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Meine Rechnung:

1350-1.64x11,62=1330 für die 90% und dann nehme ich noch die 5% die bei 1350+1.64x11.62 am Ende übrig bleiben, daher bis 1500...wahrscheinlich habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht...aber ich weiß eben nicht wo

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1350 - 1,96·11,61895 = 1327,2268579243

1350 + 1,96·11,61895 = 1372,773142075699

Das Intervall ist also [1327; 1373].

dann nehme ich noch die 5% die bei 1350+1.64x11.62 am Ende übrig bleiben, daher bis 1500

Diese Argumentation kann ich nicht nachvollziehen.

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OK danke, das mit den 5% habe ich aus einem Youtube Video

https://www.youtube.com/watch?v=hA4NJzus7ms

da würde das so gemacht und das klang für mich auch erstmal logisch

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In welchem Intervall liegt die Anzahl X der fehlerfreien Schrauben an einem Tag bei einer Wahrscheinlichkeit von 95%?

Das Intervall soll symmetrisch um den Erwartungswert liegen. Das wird oft nicht explizit gesagt, ist aber üblich.

Im Gegensatz dazu wird in dem Video eine Intrervallgrenze gesucht, so dass auf einer Seite dieser Intervallgrenze mindestens 95% der Werte liegen.

Dazu wird das um den Ewrtungswert symmetrische Intervall bestimmt, in dem 90% der Werte liegen. Dann liegen 5% links und 5% rechts von diesem intervall. Die eine Intervallgrenze wir dann auf 0 oder n gesetzt, so dass nur noch 5% außerhalb liegen.

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Eine Frage hätte ich noch: Wieso liegt hier die Wahrscheinlichkeit auf einmal bei 95% wenn sie allgemein nur 90% beträgt? Das erschließt sich mir einfach nicht. Und gibt es eine 'entgegengesetzte' Rechnung, mit der sich eine Probe durchführen lässt?

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Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Schraube fehlerfrei ist, beträgt 90%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der an einem Tag fehlerhfrei produzierten Schrauben zwischen 1327 und 1373 liegt, beträgt 95%.

gibt es eine 'entgegengesetzte' Rechnung, mit der sich eine Probe durchführen lässt?

Intervallwahrscheinlichkeit berechnen. X sei die Anzahl der fehlerfreien Schrauben. Dann muss

        P(X=1327) + P(X=1328) + ... + P(X=1372) + P(X=1373) ≥ 95%

und

        P(X=1328) + P(X=1329) + ... + P(X=1371) + P(X=1372) < 95%

sein. Dabei kannst du P(X=k) mittels Binomialverteilung mit n = 1500 und p = 0,9 berechnen.

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Vielen Dank jetzt verstehe ich das endlich