Warum ergeben diese zwei Gleichungen zwei Lösungen? Eine Positive und Negative?

Question

Wieso erhalten diese beiden Gleichungen ein positves und negatives Ergebnis?

\( \begin{aligned} \frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{2} x+1 &=-\frac{1}{2} x+5 & & \mid+\frac{1}{2} x-1 \\ \frac{1}{4} x^{2} &=4 & & \mid: \frac{1}{4} \text { bzw. } 4 \\ x^{2} &=16 & & | \sqrt{ ~ } \\ x_{1} &= \textcolor{#F00}{4} & \\ x_{2} &= \textcolor{#00F}{-4} & & \\ & & \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} f(x) &=g(x) & & \\ \frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{2} x+1 &=-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{5}{2} x-2 & & |+\frac{1}{4} x^{2}-\frac{5}{2} x+2 \\ \frac{3}{4} x^{2}-3 x+3 &=0 & & |: \frac{3}{4} \text { bzw. } \cdot \frac{4}{3} \\ x^{2}-4 x+4 &=0 & & \mid p q-\text { Formel } \\ x_{1 / 2} &=2 \pm \sqrt{2^{2}-4} & & \\ x_{1} &= \color{#F00}{2} & \\ x_{2} &= \color{#00F}{2} & \end{aligned} \)

Answer 1

Eine quadratische Gleichung der Form

x^2 = a mit a > 0 hat immer zwei Lösungen.

x = +√a und x = -√a

z.B.
x^2 = 4

Du kannst hier für x -2 und +2 einsetzen

(-2)^2 = 4

(+2)^2 = 4

Beide Gleichungen stimmen, wie du mit dem Taschenrechner leicht feststellen kannst.

Answer 2

 

die Umformungen sind alle korrekt!

 

In der ersten Aufgabe heißt es: 

x² = 16

Wenn man daraus die Wurzel zieht, so erhält man tatsächlich 4 und -4 als Ergebnisse, denn

4² = 4 * 4 = 16

und

(-4)² = (-4) * (-4) = 16

 

In der zweiten Aufgabe ist die Lösung

x_1,2 = 2 ± √(2² -4)

also

x_1,2 = 2 ± √0 = 2 ± 0 = 2

Hier hat man eine "doppelte Nullstelle" vorliegen: Der Graph der Funktion berührt die x-Achse, schneidet sie aber nicht!

Besten Gruß