Ungleichung 2*√(x) + 1/√(x+1) < 2 * √(x+1) lösen ohne vollständige Induktion

Question

wie kann man den Ausdruck vereinfachen so das man mit dem Auge sieht das die rechte Seite größer als die linke Seite ist ?

Ungleichung 2*√(x) + 1/√(x+1) < 2 * √(x+1) lösen ohne vollständige Induktion

Answer 1

Wie kommst du auf "vollständige Induktion" ?

Suchst du nur natürliche Lösungen? D.h. Lösungen in ℕ ?

2*√(x) + 1/√(x+1) < 2 * √(x+1) ,

Der Definitionsbereich, in dem alle Wurzeln und Brüche definiert sind, ist x≥0. 

2*√(x) + 1/√(x+1) < 2 * √(x+1)     | * Nenner

                                         (Beachte: Wurzel im Nenner ist > 0 , daher bleibt das Ungleichheitszeichen stehen) 

2*√(x) * √(x+1) + 1 < 2 * √(x+1) * √(x+1)          |  zusammenfassen

2*√((x) *(x+1)) + 1 < 2 * (x+1)               | Klammern auflösen

2*√((x) *(x+1))  + 1 < 2 x + 2        | -1

2*√((x) *(x+1))  < 2 x + 1       | quadrieren

4* ((x) *(x+1))  < (2 x + 1)^2 

4*x^2 + 4x  < 4 x^2 + 4x + 1      | - 4x^2 - 4x

0 < 1.

Diese Ungleichung ist allgemeingültig.

Somit gilt die Ungleichung

2*√(x) + 1/√(x+1) < 2 * √(x+1)

für alle x, für die sie definiert ist.

D.h.

2*√(x) + 1/√(x+1) < 2 * √(x+1)  hat die Lösungsmenge L = { x Element ℝ | x ≥ 0 } 

Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*√(x)+%2B+1%2F√(x%2B1)+%3C+2+*+√(x%2B1)

Answer 2

Geht auch ganz schön so, wenn man die Ungleichung etwas umstellt.

$$2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x }=2 (\sqrt{x+1}-\sqrt{x })$$

erweitern mit der Summe und 3. binomi. anwenden

(wegen x≥0 ist ja x = (√x)^2 und bei der anderen Wurzel entsprechend)

$$=2\frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x }}=2\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x }}$$

Jetzt den Nenner etwas vergrößern, macht den Bruch kleiner

$$>2\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1 }}=2\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$$