Von welchen Punkten der Ebene kann man eine Tangente an der e-Funktion legen?

Question

Hallo , gibt es zufällig jemanden hier der mir folgende Aufgabe erklären könnte?

Von welchen Punkten der Ebene kann man eine Tangente an den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion legen? Von welchen Punkten gibt es mehrere Tangenten?

Ich wäre euch sehr dankbar, könntet ihr mir diese Aufgabe erklären oder mir einen Ansatz geben, ich habe nämlich gar keine Ahnung..

Sophia

Answer 1

Hallo

 da die Krümmung von e^x eine Rechtskurve ist, kann man von jedem Punkt aus, der rechts und unterhalb der Kurve liegt, eine Tangente ziehen .Umkehrt, die Tangenten an e^x füllen den ganzen Raum rechts unterhalb aus.

Gruß lul

Comments

Umkehrt, die Tangenten an e^x füllen den ganzen Raum rechts unterhalb aus.

Das sind dann einfach alle Punkte unterhalb der Kurve.

Hinzu kommen natürlich die Punkte des Graphen.

Von welchen Punkten gibt es mehrere Tangenten?

Solche Punkte gibt es nicht.

Nachtrag (nach Kommentar von az0815):

Sorry, das ist leider Unsinn.

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Von welchen Punkten gibt es mehrere Tangenten?

Solche Punkte gibt es nicht.

Nicht?

Answer 2

Von welchen Punkten der Ebene kann man eine Tangente an den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion legen?

Natürliche Exponentialfunktion ? Meinst du f(x) = e^x ? Ihre Kurve ist linksgekrümmt.

0. Fall:
Von allen Punkten "oberhalb" der Kurve kann man keine Tangenten an die Kurve legen.

Skizze: ~plot~ e^x;x+1; ~plot~

1. Fall:

Von allen Punkten auf der Kurve aus kann man genau eine Tangente an die Kurve legen, da f(x) überall ableitbar ist.

Die Steigung in allen Punkten der Kurve ist ausserdem positiv und es kommen alle positiven Elemente von ℝ als Steigung genau einmal der Kurve vor.

2. Fall:

Von allen Punkten "unterhalb und auf" der x-Achse kann man genau eine Tangente an die Kurve legen. Diese hat positive Steigung.

Von welchen Punkten gibt es mehrere Tangenten?

Mehrere (zwei) Tangenten (mit positiver Steigung gibt es allenfalls von Punkten aus, die zwischen der x-Achse und der Kurve liegen). 

Skizze: Ein solcher Punkt in diesem Bereich (Punkt von dem aus zwie Tangenten gelegt werden können) ist der Schnittpunkt der beiden Geraden

~plot~ e^x;x+1;0.5+0.2x ~plot~

Beachte: Tangenten sind von Auge eingepasst. Du musst die genau rechnen, wenn du in der Antwort Zahlen verwenden willst.

Comments

Schöne Antwort. Eine etwas andere Sichtweise: Zwei beliebige, aber verschiedene Tangenten besitzen verschiedene (positive) Steigungen und müssen sich in einem Punkt schneiden.

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Genau. Danke.

Da muss man sich nur noch überlegen, wo all diese Schnittpunkte liegen und ob/warum es keine Punkte gibt, in denen sich 3 Tangenten an die Kurve schneiden.