Limes von von ((x+h)n-xn)/h für h gegen 0

Question

Brauche bitte Hilfe

Limes_{h gegen 0} von ((x+h)ⁿ-xⁿ)/h

Answer 1

verwende den binomischen Lehrsatz

= lim h ---> (xⁿ +n*hx^n-1+(n über 2)*h²*x^n-2 +...+hⁿ -xⁿ)/h

= lim h ---> 0 ( n*hx^n-1+(n über 2)*h²*x^n-2 +...+hⁿ )/h

=n*x^n-1

weil in den anderen Summanden nach dem kürzen immer mindestens ein h bleibt, was gegen 0 geht.

Answer 2

Das ist der Differenzenquotient der Funktion f(x)=xⁿ. Seine Limes für h gegen Null ist die erste Ableitung f'(x)=n·x^n-1.

Answer 3

lim_h->0  ((x+h)ⁿ-xⁿ)/h         | binomischer Lehrsatz

= lim_h->0  ((xⁿ + nx^n-1h + ax^n-2h² + b(x^n-3h³ …+hⁿ)-xⁿ)/h

= lim_h->0  (xⁿ + nx^n-1h + ax^n-2h² + b(x^n-3h³ …+hⁿ-xⁿ)/h

= lim_h->0  ( nx^n-1h + ax^n-2h² + b(x^n-3h³ …+hⁿ)/h            | oben h ausklammern

= lim_h->0  ( h(nx^n-1 + ax^n-2h + b(x^n-3h² …+h^n-1)/h       | h kürzen

= lim_h->0  (nx^n-1 + ax^n-2h + b(x^n-3h² …+h^n-1)        | Grenzübergang

= nx^n-1 + 0 + 0 …+ 0

= nx^n-1