Limes von von ((x+h)^n-x^n)/h für h gegen 0

Question

Brauche bitte Hilfe

Limes_{h gegen 0} von ((x+h)^n-x^n)/h

Answer 1

verwende den binomischen Lehrsatz

= lim h ---> (x^n +n*hx^{n-1}+(n über 2)*h^2*x^{n-2} +...+h^n -x^n)/h

= lim h ---> 0 ( n*hx^{n-1}+(n über 2)*h^2*x^{n-2} +...+h^n )/h

=n*x^{n-1}

weil in den anderen Summanden nach dem kürzen immer mindestens ein h bleibt, was gegen 0 geht.

Answer 2

Das ist der Differenzenquotient der Funktion f(x)=xⁿ. Seine Limes für h gegen Null ist die erste Ableitung f'(x)=n·x^n-1.

Answer 3

lim_{h->0}  ((x+h)^n-x^n)/h         | binomischer Lehrsatz

= lim_{h->0}  ((x^n + nx^{n-1}h + ax^{n-2}h^2 + b(x^{n-3}h^3 …+h^n)-x^n)/h

= lim_{h->0}  (x^n + nx^{n-1}h + ax^{n-2}h^2 + b(x^{n-3}h^3 …+h^n-x^n)/h

= lim_{h->0}  ( nx^{n-1}h + ax^{n-2}h^2 + b(x^{n-3}h^3 …+h^n)/h            | oben h ausklammern

= lim_{h->0}  ( h(nx^{n-1} + ax^{n-2}h + b(x^{n-3}h^{2} …+h^{n-1})/h       | h kürzen

= lim_{h->0}  (nx^{n-1} + ax^{n-2}h + b(x^{n-3}h^{2} …+h^{n-1})        | Grenzübergang

= nx^{n-1} + 0 + 0 …+ 0

= nx^{n-1}