Ebene in Normalform und Projektionsgerade, die durch Projektion von G auf E entsteht

Question

Es sei \( E = \left\{ \vec { x } \in \mathbf { R } ^ { 3 } : x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } + x _ { 3 } = 1 \right\} \) sowie \( G = \left\{ \vec { x } \in \mathbf { R } ^ { 3 } : \vec { x } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) + t \left( \begin{array} { c } { - 2 } \\ { 3 } \\ { 4 } \end{array} \right) , t \in \mathbf { R } \right\} \) gegeben.

(i) Ermitteln Sie die Ebene E in Normalform, welche G enthält und auf E steht.

(ii) Wie groß ist der Abstand von \( \vec { M } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \) zu E.

(iii) Bestimmen Sie die Schnittmenge \( S = G \cap E \) sowie die Projektionsgerade \( G_P \), die durch die Projektion von G auf E entsteht.

Geben Sie den Rechenweg an.

Wie berechnet man die ii und die iii? Hat jemand hierzu eine Rechnung?

Answer 1

Da schreiben wir E in skalarer Form

E:= n (x,y,z) - k = 0

E:=(1,-2,1) (x,y,z) - 1 =0

bilden die Hesse Form

Eh:= E/✓(n^2)  = E/✓(6)

und setzen M in Eh ein

Abstand d= ((1,-2,1) (1,1,0) - 1)/✓(6) = -2/✓(6)

Für S setzen wir G in E ein

(1,-2,1) (1 -2 * t, 1 + 3 * t, 4 * t)-1 =0

((-4) * t) - 2=0

t=-1/2

G(-1/2)=S:=(2, -1/2, -2)

Die Projektion ist die Schnittgerade E x E' oder bereche den Lotfusspunkt M auf E

F = M - d (1,-2,1)/✓(6) = M+2*(1,-2,1) /6 = (4 / 3, 1 / 3, 1 / 3)

S,F definieren G_F (vorausgesetzt es ist die senkrechte Projektion gemeint?)