Projektion eines Vektors auf Ebene

Question

Aufgabe:

Projizieren Sie $$\vec{u}= (1, -3, 2) $$ auf die Fläche, auf der $$\vec{v} = (-3, -1, -1)$$ senkrecht steht.

Projektion auf Ebene

Problem/Ansatz:

Ich bin nicht sicher wie ich hier ansetzen soll. Muss ich hier erst die Ebene bestimmen?

Also ich weiß, dass der Vektor $$\vec{v}$$ das Vektorprodukt aus den Vektoren ist, die die Ebene aufspannen, also $$\vec{v} = \vec{a} × \vec{b}$$, wenn $$\vec{a}$$ und $$\vec{b}$$ die Spannvektoren sind. Außerdem muss ja aufgrund der Orthogonalität gelten $$\vec{v} • \vec{a} = \vec{v} • \vec{b} = 0$$. Weiter komme ich nicht.

Answer 1

Aloha :)

Wir projezieren \(\vec u=(1;-3;2)\) auf den Vektor \(\vec v=(-3;-1;-1)\) und erhalten \(\vec u_{\parallel}\), also den Anteil des Vektors \(\vec u\), der parallel zu \(\vec v\) verläuft. Wenn wir diesen parallelen Anteil von \(\vec u\) subtrahieren, bleibt der Anteil \(\vec u_\perp\) übrig, der parallel zu der Ebene verläuft. Das ist die gesuchte Projektion:

$$\vec u_\perp=\vec u-\vec u_\parallel=\vec u-\frac{(\vec u\cdot \vec v)}{\left\|\vec v\right\|^2}\,\vec v$$$$\vec u_\perp=\left(\begin{array}{r}1\\-3\\2\end{array}\right)-\frac{\left(\left(\begin{array}{r}1\\-3\\2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{r}-3\\-1\\-1\end{array}\right)\right)}{\left\|\left(\begin{array}{r}-3\\-1\\-1\end{array}\right)\right\|^2}\,\left(\begin{array}{r}-3\\-1\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\-3\\2\end{array}\right)+\frac{2}{11}\,\left(\begin{array}{r}-3\\-1\\-1\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec u_\perp}=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{r}11\\-33\\22\end{array}\right)+\frac{1}{11}\left(\begin{array}{r}-6\\-2\\-2\end{array}\right)=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{r}5\\-35\\20\end{array}\right)$$

Comments

Hallo, vielen dank für die schnelle Antwort.

Das ist ja viel einfacher als ich dachte, dann muss ich gar keine Ebene bestimmen.

Hat mir super geholfen!

Answer 2

\(\vec{v} • \vec{b} = 0\)

Mit

        \(\vec{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\)

bekommt man dadurch die Gleichung

        \(-3b_1 - b_2 - b_3 = 0\).

Bestimme zwei linear unabhängige Lösungen dieser Gleichung. Dann hast du die Spannvektoren der Ebene.

Bestimme dann den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden

        \(\vec{x}=\vec{u}+r\cdot\vec{v}\).

Comments

Danke für die Antwort.

Answer 3

Gesucht ist der Vektor \( \vec{w} \), der orthogonal zu \( \vec{v} \) steht, und für den gilt:

\(\vec w + r\vec v = \vec u\)

und

\(\vec w \vec v=0\).

Multipliziere die erste Gleichung mit \( \vec{v} \):

\(rv^2=\vec u \vec v\)

\(r=\dfrac{\vec u \vec v}{v^2}\)

Einsetzen in fie erste Gleichung:

\(\vec w=\vec u - \dfrac{\vec u \vec v}{v^2}\cdot\vec v\)

Nun noch einsetzen und ausrechnen.

:-)