Wertebereich einer gebrochenrationalen Funktion bestimmen

Question

y= x^2/(4x^2-16)

Ich hab die Funktion mit Hilfe der Qutientenregel abgeleitet, auf Null gesetzt und zum Schluss den Wert x = 0 erhalten.

Im Lösungsbuch finde ich aber noch die Zahl 0.25, jedoch komme ich nicht darauf woher die Zahl herkommt.

Lösung: W = (-unendlich; 0] or (0.25,+unendlich)

Danke

Answer 1

Aufgrund der Gleichheit von Nenner- und Zählergrad, besitzt die Funktion eine waagerechte Asymptote:$$f(x) = \frac{{\color{red}1x^2}}{{\color{red}4}x^2 -16}$$ Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet dementsprechend:$$y=\frac{1}{4}$$ Die senkrechte Asymptote berechnet sich aus den Nullstellen des Nenners:$$4x^2-16=0 \quad |+16$$$$4x^2=16 \quad |:4$$$$x^2=4 \quad |\pm \sqrt{}$$$$x_{1,2}=\pm 2$$ Daraus kann man schließen, dass der Wertebereich in der Mengenschreibweise wie folgt lautet:$$W=\bigg \{y∈ℝ|y≤0\land y>\frac{1}{4} \bigg \}$$ Hier zur Veranschaulichung:

https://www.desmos.com/calculator/yfdfmgewrx

Comments

Danke, genau nach so einer Lösung habe ich gesucht

---

Genieße die Antwort aber mit Obacht. Das funktioniert nicht immer und ist keineswegs eine normative Regel.

---

Ich werde mich mit folgende Methodik in den Herbstferien etwas genauer auseinandersetzen.

Answer 2

Für x gegen ±∞ gehen die Werte vonoben gegen 1/4=0,25.Unter1/4 gibt es keine positiven Werte:

Answer 3

Hallo

 für Nenner=0 ist die Funktion nicht definiert! für welche x ist 4x^2-16=0?

das Definitionsbereich und der Wertevorrat  hat erstmal nichts mit der Ableitung zu tun, nur dass die an den nicht definierten Stellen auch nicht definiert ist!

die Lösung, die du hingeschrieben hast verstehe ich nicht wegen dess or es werden alle Werte von ℝ ohne das Intervall (0, 1/4] angenommen. für x->∞ geht die Funktion gegen 1/4, kleinere positive Werte gibt es nicht. (kürze um das zu sehen durch x^2)

Gruß lul