Integrieren von Bruch mit Wurzel ∫ 1/(⁷√x³) dx

Question

Integrieren von Bruch mit Wurzel:

$$\int_{2}^{7}\frac{1}{\sqrt[7]{x^3}}dx$$

Answer 1

Hey man kann das recht einfach umschreiben:

$$ \sqrt[7]{x^3} = x^{\frac{3}{7}} $$

Also:

$$ \frac{1}{\sqrt[7]{x^3}}  = \frac{1}{x^{\frac{3}{7}}} = x^{-\frac{3}{7}} $$

$$ {\displaystyle\int}x^{\mathtt{n}}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{\mathtt{n}+1}}{\mathtt{n}+1} $$

Somit:

$$ =\dfrac{7x^\frac{4}{7}}{4}+C $$

Answer 2

= ∫ 1/x^{3/7} dx               ---------------->allgemein: 1/a^n= a^{-n}

= ∫x^{-3}/7 dx

allgemein gilt:

∫x^n dx= 1/(n+1) x^{n+1} +C

--------->

n= -3/7

=1/((-3/7) +1) ^{ -3/7 +1} +C

=7/4 x^{4/7} +C

nun noch die Grenzen einsetzen:

=7/4 7 ^{4/7} -7/4 2^{4/7}

=7/4 (7 ^{4/7} - 2^{4/7})

≈2.72