Lineare Gleichungssysteme - Bedarfsvektoren

Question

Der Rohstoffbedarf für drei Produkte A1,A2,A3 sei durch die Bedarfsvektoren

a1=⎛3 3 5⎞⎟,a2=⎛0 2 5⎞⎟,a3=⎛1 3 1⎞⎟
gegeben. Insgesamt stehen 70 Einheiten des Rohstoffes R1, 100 Einheiten des Rohstoffes R2 und 135 Einheiten von R3 zur Verfügung. Wieviele Mengeneinheiten können von A1 hergestellt werden, wenn die Rohstoffvorräte zur Gänze verbraucht werden? Hinweis: von A2 werden 5 Einheiten erzeugt.

Wie berechne ich die Mengeneinheiten von A1?

Answer 1

Ich versuche es mal anders:

Seien x1,x2,x3 die Mengen der Produkte A1,A2,A3 dann gilt entsprechend den Verbrauchsvektoren

\(\left\{ 3 \; x1 + x3 = 70, 3 \; x1 + 2 \; x2 + 3 \; x3 = 100, 5 \; x1 + 5 \; x2 + x3 = 135 \right\} \)

das als Matrixgleichung A x = b geschieben

\(A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}3&0&1\\3&2&3\\5&5&1\\\end{array}\right)\)

\(b \, :=  \,  \left\{ 70, 100, 135 \right\} \)

x = A(^-1) b =\( \left\{ 20, 5, 10 \right\} \)

Comments

Danke für die Erklärung. Aber was ich nicht verstehe ist, was ich mit der Info das von A2 5 Einheiten erzeugt werden machen. Bei mir kommt

[-28.3824  55.1417  -2.0588] raus. Mein Rechenweg mit dem Rechner:

x=b*A^-1       x=[-28.3824  55.1417  -2.0588]

Danke für die Hilfe!

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Dein Ergbnis ist auch richtig aber falsch, es ist nicht x=b*A^-1  sondern

x=A^(-1) b gefragt - das LGS muß von links mit A^-1 multipliziert werden!

Answer 2

Stelle aus den Bedarfsvektoren die Bedarfsmatrix A auf. Die Zeile in der Bedarfsmatrix gibt an, welcher Rohstoff benötigt wird, die Spalte gibt an, welcher Rohstoff benötigt wird. In der Bedarfsmatrix steht zum Beispiel in Zeile 1, Spalte 2 eine 0, weil für das Produkt A2 der Rohstoff R1 nicht verwendet wird.

Insgesamt stehen 70 Einheiten des Rohstoffes R1, 100 Einheiten des Rohstoffes R2 und 135 Einheiten von R3 zur Verfügung

r = (70 100 135)^T

Wieviele Mengeneinheiten ...

x = (x₁ x₂ x₃)^T

Löse die Gleichung A·x = r.

können von A1 hergestellt werden, wenn die Rohstoffvorräte zur Gänze verbraucht werden?

Das ist der Wert, den du für x₁ berechnest.

Hinweis: von A2 werden 5 Einheiten erzeugt.

Wenn du richtig gerechnet hast, dann ist x₂ = 5.

Comments

Danke, hab jetzt mal die Matrix aufgestellt. Weiß aber nicht genau, was Sie mit der Gleichung A*x = r meinen.

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Welchen Bestandteil der Gleichung verstehst du nicht? Das A, das *, das x, das = oder das r?

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Naja, wo muss ich jetzt was einsetzen?