Wie kommt man auf die Musterlösung (Grenzwert) von (ln(1-x)+x^2)/(ln(1-x^2)+e^x) für (x->1)

Question

Hallöchen,
ich verstehe irgendwie nicht, wie der Autor der Musterlösung den einen Schritt vollzogen hat (siehe Fragezeichen).
Klar ist, dass der Autor die Regel L-hospital verwendet, aber warum darf er diese Ausführen, denn lässt man $$\frac { ln(1-x)+{ x }^{ 2 } }{ ln(1-{ x })+(1+{ x })+{ e }^{ x } }$$ gegen 1 streben, kommt man ,dank des Log's, auf ein nicht definierten Ausdruck und somit ist die Regel doch nicht anwendbar?

Musterlösung: $$\underset { x->1 }{ lim } \frac { ln(1-x)+{ x }^{ 2 } }{ ln(1-{ x }^{ 2 })+{ e }^{ x } } =\frac { ln(1-x)+{ x }^{ 2 } }{ ln(1-{ x })+(1+{ x })+{ e }^{ x } } \overset { ? }{ = } \frac { \frac { 1 }{ 1-x } +2x }{ \frac { 1 }{ 1-x } +\frac { 1 }{ 1+x } +{ e }^{ x } } =...=1$$

Answer 1

Hier hast du den Fall, dass für x gegen 1 ein Ausdruck der Form $$ \frac{"\infty"}{\infty} $$ vorläge. Denn für ein immer kleiner werdendes Argument, wird log immer größer. Deshalb benutzt man hier L'Hospital.

Comments

Morgen!

Wird der ln für kleiner werdende Werte tatsächlich größer?

Ich dachte immer ln(x) mit  0<x<1 ist negativ?

Es würde dann gegen -infty streben

Also hätte man dann (-infty/-infty).

P.S. das Minus kürzt sich ja weg also, du hast recht:)) danke

Answer 2

alternativ:

kürze mit LN(1-x):

= lim x---> 1 (1+x^2/LN(1-x))/(1+(1+x+e^x)/LN(1-x))

=(1+0)/(1+0)=1