Finde, falls möglich, die entsprechenden Prädikate

Question

Bei folgendem Beispiel komme ich leider auf keine Lösung:

Wir betrachten die beiden Formeln

ϕ:= ∃y ∀x : P(x,y) und  ψ:= ∀x ∃y : P(x,y)

Dabei seien x und y natürliche Zahlen. Finden Sie (falls möglich) Prädikate P so, dass
a) ϕ und ψ wahre Aussagen sind,
b) ϕ eine wahre und ψ eine falsche Aussage ist,
c) ϕ eine falsche und ψ eine wahre Aussage ist,
d) ϕ und ψ falsche Aussagen

Answer 1

a) P(x, y) := "1+1=2".

b) geht nicht.

c) P(x, y) := "y<x".

d) P(x, y) := "1+1=3".

Answer 2

a) P(x, y): x ≥ y

b) Gibt es nicht, denn ψ:= ∀x ∃y : P(x,y) folgt aus ϕ:= ∃y ∀x : P(x,y).

c) P(x, y): y ist ein Vielfaches von x.

d) P(x, y): x*y = 1.

Es gilt also Instanzen für drei der vier Fälle.

MfG

Mister