Ganzrationale Funktion 4. Grades bestimmen!

Question

Hi

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit den Eigenschaften:
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse bei y = -1
und H(1|-3) ist ein Hochpunkt.

:-)

Answer 1

Wegen Symmetrie lautet der Ansatz f(x)=ax⁴+bx²+c.

f(0)=-1

f(1)=-3

f'(1)=0

Answer 2

da hier von Symmetrie zr y-Achse die Rede ist, ist es ganz einfach. Denn so hat diese Funktion nur gerade Exponennten, sodass die gesuchte Funktion diese Gesatalt hat $$ f(x)=ax^4+bx^2+c $$

$$ f'(x)=4ax^3+2bx $$

Nu zu den Eigenschaften:

P(0/-1). Also f(0)=-1 => c,=-1.

H(1/-3). Also f(1)=-3=a+b-1.

Und f'(1)=0=4a+2b.

Und jetzt wie üblich hier nach a und b auflösen.

EDIT: Bei H(1/-3) liegt kein Hochpunkt vor!

Answer 3

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit den Eigenschaften:
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse bei y = -1
und T_1(1|-3) ist ein Tiefpunkt ."

Lösung über die Nullstellenform der Parabel 4. Grades:

Ich verschiebe den Graph von f(x) um 3 Einheiten nach oben.

T_1(1|0) und T_2(-1|0)

p(x)=a*(x-1)^2*(x+1)^2

Symmetriepunkt auf der y-Achse: P´(0|2)

p(0)=a*(0-1)^2*(0+1)^2=a

a=2

p(x)=2*(x-1)^2*(x+1)^2

Nun wieder 3 Einheiten nach unten:

f(x)=2*(x-1)^2*(x+1)^2-3