Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades: H(2|25) ist Hochpunkt

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch, hat im Punkt H (2 ; 25) einen Hochpunkt und schneidet die x-Achse an der Stelle x = 3

Problem/Ansatz:

Answer 1

Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch

Es entfallen alle Terme mit ungeraden Potenzen, sprich die Funktion hat die Form \(f(x)=ax^4+cx^2+e\) und es werden nur noch 3 Bedingungen benötigt.

hat im Punkt H (2 ; 25) einen Hochpunkt

Der Graph der Funktion muss durch den Punkt H gehen:

\(f(2)=25\)

Weiterhin muss dort die Steigung null sein:

\(f'(2)=0\)

schneidet die x-Achse an der Stelle x = 3

\(f(3)=0\)

Die Bedingungen eingesetzt ergeben die drei Gleichungen:

\(I: 16a+4c+e=25 \\ II: 8a+c=0\\ III: 81a +9c+e=0\)

Dann ist das LGS zu lösen, wodurch sich die einzelnen Koeffizienten der gesuchten Funktion ergeben.

Comments

perfekt vielen dank larry

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habe gerade versucht das LGS zu lösen, verstehe aber leider nicht ganz wie es hier zu machen ist - könnten Sie mit dabei helfen?

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I:16a+4c+e=25

II:8a+c=0

III:81a+9c+e=0

-------------------------

Rechne erst mal I - III und behalte die Gleichung II

[spoiler]

ohne Gewähr!

I - III: -65a -5c = 25      |:5

II: 8a + c = 0

----------------------------

V: -13a - c = 5

II: 8a + c  = 0

------------------------ V + II

-5a = 5

a = -1

usw.

Sicher, dass das LGS stimmt? https://www.wolframalpha.com/input/?i=16a%2B4c%2Be%3D25++,8a%2Bc%3D0++,+81a%2B9c%2Be%3D0 kann es auch nicht lösen.

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müsste stimmen, wenn ich es so zu ende rechne kommen für:

c = 8

und

e = 9

raus.

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Hast du die Frage richtig abgeschrieben und die Gleichungen von Larry kontrolliert?

Dann hat das LGS vielleicht keine Lösung und es gibt keine Funktion, die die Bedingungen erfüllt. (?)

Ich zweifle gerade an 8a+c=0 II. Stimmt das denn?

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die Frage ist richtig abgeschrieben, habe es nochmals gecheckt

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Das LGS von Larry ist falsch. Die zweite Gleichung müsste

32a + 4c = 0

lauten. Dann geht es bei mir auch mit glatten Zahlen auf

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Zu (II)

f ' (x) = 4ax^3 + 2cx

f '(2) = 32a + 4c

Somit II: 32a + 4c = 0    |:4

8a + c = 0

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wenn man es mit 4 kürzt kommt man auf dasselbe - oder darf man hier nicht kürzen?

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Richtig. Wo steckt der Fehler?

Oder warum soll diese Aufgabe unlösbar sein?

@elemenope: Was bekommst du denn für a?

Sieht hier richtig aus: mit a=-1 , c=8, e=9

~plot~ -x^4 + 8x^2+9;{2|25};[[-4|4|-1|27]] ~plot~

Wäre interessant zu wissen, warum Wolframalpha hier ein Problem hat.

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habe es nochmals durchgerechnet und komme immernoch auf a = -1

ich sehe nirgendwo einen fehler...

denke es stimmt und ist wahrscheinlich einfach eine komische aufgabe

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Ja. Das vermute ich auch.

Aufgabe wohl von hier https://books.google.ch/books?id=O7BgBQAAQBAJ&pg=PT36&lpg=PT36&dq=16a%2B4c%2Be%3D25,+8a%2Bc%3D0,+81a%2B9c%2Be%3D0&source=bl&ots=hlnNbAUboY&sig=ACfU3U09-GghjgHlxMf5M2QMD7gh4ZdZ6w&hl=sv&sa=X&ved=2ahUKEwjv4rvcrMjhAhWLkxQKHYidCYAQ6AEwAHoECAcQAQ#v=onepage&q=16a%2B4c%2Be%3D25%2C%208a%2Bc%3D0%2C%2081a%2B9c%2Be%3D0&f=false

Da gibt es sogar eine Musterrechnung.

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Habe es bei WolframAlpha auch nicht lösen können, bei matrixcalc ging es aber. Bei Brünner erhalte ich auch die gleiche Lösung.

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passt danke euch viel mal. super hilfe wirklich. :)

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Nachtrag: Wenn man e durch f ersetzt, kann Wolframalpha dieses Gleichungssystem lösen :)

Die Unbekannte sollte man dort offenbar nicht e (Eulersche Zahl) nennen.

https://www.mathelounge.de/623747/steckbriefaufgabe-polynom-grades-macht-wolframalpha-diesem

Answer 2

f(x) = ax^4+bx^2+c

f(2) = 25

f '(2) = 0

f (3) =0

Stelle damit ein Gleichungssystem auf und bestimme a,b und c!

Comments

f(2) = 2,25

Wohl eher f(2) = 25   ( H(2 ; 25) )

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müsste f(2) nicht gleich = 25 sein?

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danke euch !

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Danke, ich hab den Vertipper korrigiert. :)

Answer 3

"Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch, hat im Punkt H (2 | 25) einen Hochpunkt und schneidet die x-Achse an der Stelle x = 3"

Wegen der Achsensymmetrie liegt ein 2. Hochpunkt bei M(-2 | 25)

Ich verschiebe den Graphen um 25 Einheiten nach unten und löse mit der Nullstellenform der Parabel 4.Grades.

\(f(x)=a*(x+2)^2*(x-2)^2\)

N(3|0)→N´(3|-25)

\(f(3)=a*(3+2)^2*(3-2)^2=25a→25a=-25→a=-1\)

\(f(x)=-(x+2)^2*(x-2)^2\)

Nun 25 Einheiten nach oben:

\(p(x)=-(x+2)^2*(x-2)^2+25\)